专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型题型归类训练) (解析版）.docx

专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)

一、必备秘籍

1、曲线方程的定义

一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：

①曲线上的点的坐标都是方程的解；

②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．

2、求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；

（2）设曲线上任意一点的坐标为；

（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；

（4）用坐标表示这个等式，并化简；

（5）确定化简后的式子中点的范围．

上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．

3、求轨迹方程的方法：

3.1定义法：

如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

3.2直接法：

如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3.3代入法（相关点法）：

如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。

3.4点差法：

圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.

二、典型题型

题型一：定义法求轨迹方程

1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：

(1)点到点、的距离之和为10；

(2)点到点、的距离之和为12；

(3)点到点、的距离之和为8．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；

（2）根据椭圆的定义可求出结果；

（2）可知动点的轨迹是线段.

【详解】（1）因为，

所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，

这里，，即，，

所以，

所以动点的轨迹方程为.

（2）因为，

所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，

这里，，即，，

所以，

所以动点的轨迹方程为.

（3）因为，

所以动点的轨迹是线段，其方程为.

2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：

(1)与圆和圆都内切；

(2)与圆内切，且与圆外切；

(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；

（2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；

（3）设根据斜率公式得到方程，整理可得.

【详解】（1）圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

因为，则圆与圆外离，

设圆的半径为，由题意可得，所以，

所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，

设圆心的轨迹方程为，

由题意可得，则，，

因此圆心的轨迹方程为.

??

（2）圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

因为，则圆与圆外离，

设圆的半径为，由题意可得，所以，

所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，

设圆心的轨迹方程为，

由题意可得，则，，

因此圆心的轨迹方程为.

??

（3）设，则，，

根据题意有，

化简得

∴顶点的轨迹方程为.

??

3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程.

【答案】

【分析】设，根据题意列出方程，化简即可.

【详解】设，则，所以，化简得，

故的方程为.

题型二：直接法

1．（2024·全国·高三专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;

【答案】

【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程.

【详解】设点的坐标为，

因为，

所以，化简得.

故动点的轨迹方程为.

2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．

(1)求点的轨迹方程；

(2)说明点的轨迹是何种几何图形．

【答案】(1)

(2)点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点

【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意；

（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.

【详解】（1）由题意可知：直线与直线的斜率分别为，

则，整理得，

所以点的轨迹方程为.

（2）由（1）可知：点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点.

3．（2