北京市西城区2024届高三下学期5月模拟测试数学试卷（含答案解析）.docx

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北京市西城区2024届高三下学期5月模拟测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，满足，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知集合，．若，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

4．设，则（????）

A． B． C． D．

5．已知．则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（????）

A． B． C． D．

7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（????）

A． B． C． D．

8．楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为（????）

??

A． B． C． D．

9．已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

10．一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．函数的定义域是．

12．已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为．

13．已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则；．

14．已知函数，，其中．

①若函数无零点，则的一个取值为；

②若函数有4个零点，则．

15．在数列中，，．给出下列三个结论：

①存在正整数，当时，；

②存在正整数，当时，；

③存在正整数，当时，．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

16．已知函数．在中，，且．

(1)求的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长．

17．如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题．

条件①：；条件②：；条件③：平面．

(1)求证：为的中点；

(2)求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．

年份

产量万台

销量万台

记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．

(1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；

(2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；

(3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明

19．已知函数，其中．

(1)若在处取得极小值，求的值；

(2)当时，求在区间上的最大值；

(3)证明：有且只有一个极值点．

20．已知椭圆的一个顶点为，焦距为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线．

21．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．

(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；

(2)已知数列．

（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；

（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．

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参考答案：

1．D

【分析】由复数的几何意义得出，再运算化简即可.

【详解】复数对应的点的坐标是，所以，，

所以.

故选：D．

2．B

【分析】根据向量坐标运算，先求出，再逐一验证即可.

【详解】因为，，

所以，

所以，故A错；

，故B正确；

，故C错；

因为，所以不平行，故D错.

故选：B

3．C

【分析】根据交集结果可确定的范围，由此可得结果.

【详解】，，，，

即的最小值为