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赣州市2024年高三年级适应性考试
数学试卷
2024年5月
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中.,是方程的两根,则的前6项和为()
A.48 B.24 C.12 D.8
2.已知甲、乙两组数据分别为:22,21,24,23,25,20和25,22,a,26,23,24.若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2,则()
A.甲、乙两组数据的极差不同 B.乙组数据的中位数为24
C.甲、乙两组数据的方差相同 D.甲组数据的第一四分位数为21.5
3.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,,则A=()
A. B. C. D.
4.已知直线.圆,则()
A.l过定点 B.l与C一定相交
C.若l平分C的周长,则m=1 D.l被C截得的最短弦的长度为4
5.由0和1组成的序列称为0-1序列,序列中数的个数称为这个序列的长度,如01011是一个长度为5的0-1序列.在长度为8的0-1序列中.所有1互不相邻的序列个数为()
A.20 B.54 C.55 D.280
6.已知,为双曲线的左、右焦点,M为C左支上一点.设,,且,则C的离心率为()
A. B.3 C.2 D.
7.已知球O内切于正四棱锥P-ABCD,PA=AB=2,EF是球O的一条直径,点Q为正四棱锥表面上的点,则的取值范围为()
A. B. C. D.
8.已知函数,.若,则k的取值范围为()
A. B. C. D.
二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知i为虚数单位,,则()
A.
B.
C.若,则的最大值为6
D.若是关于x的方程的一个根,则q=8
10.已知函数,则()
A.若相邻两条对称轴的距离为,则
B.当的最小正周期为,时,
C.当时,的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为
D.若在区间上有且仅有两个零点,则
11.函数及其导函数的定义域均为R,和都是奇函数,则()
A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点对称
C.是周期函数 D.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若集合,,则______.
13.已知某正三棱柱外接球的体积为,则该正三棱柱体积的最大值为______.
14.已知,则的最小值为______.
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
《中国诗词大会》是中央广播电视总台联合中华人民共和国教育部、国家语言文字工作委员会共同推出的语言文化类节目,节目以诗词描绘中国精神,用诗意书写时代篇章,尽展中华民族历史之美、山河之美、文化之美.随着《中国诗词大会》的播出,赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮,该校团委组织了校内诗词大会,赛前准备了两组题,第一组题中含有2道唐诗和3道宋词,第二组题中含有6道唐诗和4道宋词.
(1)先等可能地抽取一组题,再从这组题中抽出2道题,若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词,求这两道题出自第一组题的概率;
(2)某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3道题,记X为抽到的是宋词的题数,求X的分布列及数学期望.
16.(15分).
如图,在三棱柱中,侧面为正方形,底面ABC为等边三角形.
(1)证明:为等腰三角形;
(2)若,求平面与平面夹角的正弦值.
17.(15分)
已知数列满足,,,成等差数列.
(1)求证:数列是等比数列,并求出的通项公式;
(2)记的前n项和为,证明:.
18.(17分)
如图,曲线是以原点O为中心,,为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点,为焦点的抛物线的一部分,是和的交点,我们把和合成的曲线W称为“月蚀圆”.
(1)求所在椭圆和所在抛物线的标准方程;
(2)过作与y轴不垂直的直线l,l与W依次交于B,C,D,E四点,P,Q为所在抛物线的准线上两点,M,N分别为CD,BE的中点.设,,,分别表示,,,的面积,求.
19.(17分)
给出以下三个材料:
①若函数的导数为,的导数叫做的二阶导数,记作.类似地,二阶导数的导数叫做的三阶导数,记作,三阶导数的导数叫做的四阶导数…,一般地,n-1阶导数的导数叫做的n阶导数,即,;
②若,定义;
③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数,那么对于有,我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如,在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料,完成下面的题目:
(1)若,在点处的3阶泰勒展开式分别为,,求出,;
(2)比较(1)中与的大小;
(3)证明:.
赣州市2024年高三年级适应性考试
数学参
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