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云南省大理市下关镇第一中学2024届高三第一次调研测试数学试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若关于的不等式恰有1个整数解,则实数的最大值为()
A.2 B.3 C.5 D.8
2.已知函数,则方程的实数根的个数是()
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是()
A.“若,则”的否命题是“若,则”
B.“若,则”的逆命题为真命题
C.,使成立
D.“若,则”是真命题
4.已知等差数列中,,则()
A.20 B.18 C.16 D.14
5.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有()
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
6.设复数满足,在复平面内对应的点为,则()
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为,且,,则()
A. B. C. D.
8.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()
A.函数在上单调递增 B.函数的周期是
C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是1
9.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
10.已知a0,b0,a+b=1,若α=,则的最小值是()
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()
A.9 B.7 C. D.
12.已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为()
A.4 B.6 C.3 D.8
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若曲线(其中常数)在点处的切线的斜率为1,则________.
14.已知,满足约束条件,则的最小值为__________.
15.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是________.
16.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)等差数列的前项和为,已知,.
(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;
(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.
18.(12分)已知椭圆C的离心率为且经过点
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(0,2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B,以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上,求直线l的方程.
19.(12分)已知向量,函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.
20.(12分)已知矩阵,.
求矩阵;
求矩阵的特征值.
21.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.
(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;
(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.
22.(10分)已知椭圆E:()的离心率为,且短轴的一个端点B与两焦点A,C组成的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若点P为椭圆E上的一点,过点P作椭圆E的切线交圆O:于不同的两点M,N(其中M在N的右侧),求四边形面积的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
画出函数的图象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用数形结合即可得出.
【详解】
解:函数,如图所示
当时,,
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3,又
∴,,则
当时,,则不满足题意;
当时,
当时,,没有整数解
当时,,至少有两个整数解
综上,实数的最大值为
故选:D
【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围,属于较难题.
2、D
【解析】
画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.
【详解】
画出函数
令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个
故选:D
【点睛】
本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运
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