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三角函数性质专题
一、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数图象来求解.
【注意】解三角不等式时要注意周期,且k∈Z不可以忽略.
二、三角函数值域或最值的3种求法
1、直接法:形如y=asinx+k或y=acosx+k的三角函数,直接利用sinx,cosx的值域求出;
2、化一法:形如y=asinx+bcosx+k的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,确定ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值);
3、换元法:
(1)形如y=asin2x+bsinx+k的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
(2)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值)
三、求三角函数单调区间的2种方法
1、代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解;
2、图象法:画出三角函数的正、余弦和正切曲线,结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时,若x的系数为负,应先化为正,同时切莫忽视函数自身的定义域.
四、已知单调区间求参数范围的3种方法
1、子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解;
2、反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解;
3、周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq\f(1,4)周期列不等式(组)求解。
五、三角函数周期的求解方法
1、公式法:
(1)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的最小正周期分别为2π,2π,π;
(2)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|),y=tan(ωx+φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|);
2、图象法:利用三角函数图象的特征求周期.
如:相邻两最高点(最低点)之间为一个周期,最高点与相邻的最低点之间为半个周期。
六、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中,判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称,奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.常见的结论有:
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
考点一求三角函数的定义域
【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数的定义域是()
A.B.
C.D.
【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)函数的定义域为()
A.,B.,
C.,D.,
【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)函数的定义域为.
【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)函数定义域为.
考点二求三角函数的值域(最值)
【例2】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域为.
【变式2-1】(2023·西藏昌都·校考模拟预测)已知函数,的最小值为.
【变式2-2】(2023·甘肃酒泉·统考三模)若函数的最小值为,则.
【变式2-3】.(2022秋·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)函数的最小值是.
【变式2-4】(2022·全国·高三专题练习)函数,的值域为.
【变式2-5】(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)当时,求函数的最值及对应的取值;
(2)若,求函数的最大值.
考点三根据三角函数的值域求参数
【例3】(已知函数,当时,取得最小值,则的最小值是()
A.B.C.D.
【变式3-1】当时,函数的值域是,则m的取值范围是()
A.B.C.D.
【变式3-3】已知函数在区间上存在最大值,则实数的取值范围为.
【变式3-4】已知函数的定义域为,值域为,则m的最大值是()
A.B.C.D.
【变式3-5】(2023·四川自贡·统考一模)函数在的最大值为7,最小值为3,则
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