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第2题空间中截面最值问题(5月)
【2024届广东省珠海一中高三大湾区预测卷】
在三棱锥中,平面,,点为棱上一点,过点作三棱锥的截面,使截面平行于直线和,当该截面面积取得最大值时,()
A.????B.????C.????D.
根据线面平行的性质先推出截面形状,再根据已知判定是等腰直角三角形,设,由二次函数的性质得出截面面积最大时,最后由勾股定理计算即可.
如图所示,设截面为四边形.
截面平行于直线,
截面平行于直线,
又平面,故四边形为矩形,其面积为.
因为,
所以,所以.
又,
所以是等腰直角三角形.
设,则,所以
,当且仅当时取等号.
故当截面面积最大时,,
在中,由勾股定理得:.
本题选A.
(23-24高三下·河南·阶段练习)
1.在正方体中,为的中点,在棱上,且,则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为(????)
A.6 B.8 C.12 D.16
(2024·四川·一模)
2.设正方体的棱长为1,与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M.则下列结论正确的是(????).
A.M必为三角形 B.M可以是四边形
C.M的周长没有最大值 D.M的面积存在最大值
根据线面平行的性质得出截面为矩形,由余弦定理得,设,用m表示线段长及截面面积,结合基本不等式求得截面取最值时的m值,从而得出,再根据余弦定理计算即可.
如图所示,设截面为四边形.
截面平行于直线,
截面平行于直线,
又平面,故四边形为矩形,其面积为,
,
.
设,
则,,
,
时取等号,此时.
在中,由余弦定理得:
,
所以.选A.
【题后反思】
1.确定截面的主要依据有
(1)平面的四个公理及推论.
(2)直线和平面平行的判定和性质.
(3)两个平面平行的性质.
2.作截面的几种方法
(1)直接法:有两点在几何体的同一个面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面实际就是找交线的过程.
(2)延长线法:同一个平面有两个点,可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,拖直线所在的面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.
总评:截面问题的常用解题策略
立体问题的解题策略,主要有代数法及几何法.其中代数法主要包括坐标法、基底法.
1.坐标法.就是通过建立空间直角坐标系,将几何问题转化为坐标的代数运算.如果遇到直线,主要考虑直线的方向向量;如果遇到平面,主要考虑平面的法向量.
2.基底法.基底法主要是利用平面向量和空间向量的基本定理解决问题.其理论依据是:若四个不同的点共面,为空间任意点,则:
①若不共线,则;
②,且.
3.几何法.平面化是几何法的核心策略,同时也是解决立体几何问题的核心策略.对于截面问题的关键是判断出截面所具有的几何性质,而要获得截面,常见的策略有:
①延长交线得到交点;②作平行线.
判断截面的原理主要有:
①平面的公理及其推论.
②线面平行的性质定理.
③如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行.
(2022·北京朝阳·一模)
3.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示,,,两两垂直,(单位:),小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开,使截面平行于直线和,则该截面面积(单位:)的最大值是(????)
A. B. C. D.
(2023·福建泉州·模拟预测)
4.如图,棱长为2的正方体容器中,,分别是棱,的中点,在,,处各有1个小孔(孔的大小忽略不计),则该容器可装水的最大体积为.
??
(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)
5.如图,棱长为的正方体的内切球为球,,分别是棱,的中点,在棱上移动,则(????)
??
A.对于任意点,平面
B.直线被球截得的弦长为
C.过直线的平面截球所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为
D.当为的中点时,过,,的平面截该正方体所得截面的面积为
(23-24高二上·上海·期末)
6.如图,在棱长为10的正方体中,M为棱CD的中点,点P在侧面上,且到与的距离均为3,则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是(????)
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
(23-24高三上·河北沧州·阶段练习)
7.已知正方体的棱长为,为的中点,为棱上异于端点的动点,若平面截该正方体所得的截面为五边形,则线段的取值范围是(????)
A. B. C. D.
(23-24高三上·辽宁·阶段练习)
8.已知在正方体中,,点,,分别在棱,和上,且,,,记平面与侧面,底面的交线分别为,,则(????)
A.的长度为 B.的长度为
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