第3题空间距离最值问题 2024年高中数学三轮复习之一题多解.docx

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第3题空间距离最值问题（5月）

【安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测T14】

已知实数，满足，则的最小值为_________．

根据已知消元将问题式化为双元变量，利用不等式性质分别放缩计算即可．

由已知，则

即，当且仅当时，等号成立．①

设点，

而

．

即，当且仅当时，等号成立．②

由①②得

当且仅当时，等号成立．所求最小值．

直接利用闵可夫斯基不等式计算即可．

由Minkowski（闵可夫斯基）不等式可知：

，

，

当时，取等．

补充：闵可夫斯基不等式：设都是正实数，则，

构建空间直角坐标系，角度一、利用正方体，结合平面方程、正方体对称性、三角形三边关系计算距离即可；角度二、先根据条件确定P的轨迹平面，再分别注意取等条件时P的轨迹计算即可；角度三、直接根据空间距离，先确定两式为同一平面内的距离之和，再利用对称点（空间中的将军饮马）计算最值即可．

角度一、

如图，建立空间坐标系，设正方体棱长为2，显然表示平面，

令，过，即过，

由的任意性，沿轴方向平移形成的平面表示，

设为平面上任意一点．

记，，

由空间距离公式易得：

．

角度二、

设平面上的动点，

则所求表达式表示到，的距离之和，

即求的最小值．

如图为阴影部分所示平面上的动点，

故，

（点在线段BC上且为中点处取等最小值）

角度三、

目标函数表示四个点与平面上动点之间距离的和．

易知两点在平面上，

它们与平面上动点距离之和的最小值便是这两点间的距离．

我们再求点关于平面的对称点，

首先中点在平面上，所以有，

其次，两点连线与平面垂直，所以连线的方向向量就是平面的一个法向量，

而平面的一个法向量为，从而，联立解得，故所求的对称点为，

设它与点连线交平面于点，则，且，

解得，交点为，此点使得两点与平面上动点距离之和最小，

最小值为与之间的距离，

又恰为的中点，因此就是平面上到四点距离之和最小的点，

所求最小值为．

（22-23高二上·浙江温州·期中）

1．若，则的最小值为（????）

A． B．3 C． D．4

2．我们知道平面直角坐标系内直线的一般式方程为，对此进行类比，可知空间直角坐标系内平面的一般方程为；运用上述知识，已知实数，，满足，则的最小值是.

3．对于任意实数，，，的最小值为．

（23-24高三下·安徽·阶段练习）

4．设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离为．设是以点为球心的球面，它与外切并与相切．令A为满足上述条件的球心构成的集合．设平面与平行且在上有A中的点．设是平面与之间的距离．则的最小值为．

5．如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的范围是.

6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点满足．若点在平面ABCD内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为；若点在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为．

7．已知平面向量中有如下两个结论：

结论1：若、是不共线的两个平面向量，，则A、B、C三点共线的充要条件是；

结论2：若、是不共线的两个平面向量，，若点P在与AB平行的直线上，则（为定值）．

将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题：

已知、、是两两垂直的单位向量，P是空间中一点．

(1)若且，求的最小值；

(2)若且满足，求动点P的轨迹所围成的区域的体积．

8．如图，已知在四面体中，，，.、分别为、中点.

??

(1)证明：直线为、的公垂线；

(2)求空间内任一点到四面体四个顶点距离和的最小值.

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参考答案：

1．C

【分析】利用空间中两点之间的距离公式，将代数问题转化为几何问题，从而使得问题得以解决.

【详解】题干中代数式的几何意义是空间中任意一点分别到点、、，的距离之和，如图所示，四边形是一个矩形，

??

易知，

当点位于矩形的中心时，其距离之和最小，

且最小值为矩形的对角线长之和，而，

所以代数式的最小值为.

故选：C

2．

【分析】设点，，利用空间中两点间距离公式可知所求为，结合三角不等式以及空间中两点间距离公式即可求解

【