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专题训练数列
一、知识要点
1．（1）等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换；
（2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点．
二、实题演练
1．已知数列中，，且满足___________．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
从①；
②；
③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①，由，得，
因为，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
若选②，因为，，
所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列，
所以，
若选③，因为，，所以，
（2）若选①，则由（1）得，则
，
若选②，由（1）得，则
，
若选③，则由（1）得，则
.
2．从①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
设数列的前项和为，，，是各项均为正数的等比数列，，___________，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】由，，得，
两式相减得，
即，所以，
所以，所以．
(或由得，
所以
)
设数列的公比为，
因为等比数列的各项均为正数，所以．
选择①：由得，则，又，所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
选择②：由，得数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以．
选择③：因为，所以，
所以，解得(负值舍去)，
所以．
3．给出以下两个条件：①数列的首项，，且，②数列的首项，且．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选条件①：
（1）由条件，得，两式相减得，
所以数列，均为公差为的等差数列．因为，，
所以当为奇数时，；因为，所以，
当为偶数时，，综上，．
（2）由（1）得，
则其前项和为①，
所以②，
①-②得，
，
所以．
若选条件②：
（1）因为，所以，，，…，，
上面个式子相乘得（），所以时，，
而时，，也满足上面等式，所以，
所以时，，而时，，也满足上面等式，所以．
（2）由（1）得，
则其前项和为①，
所以②，
①-②得，
，
所以．
4．已知数列的前项和为，，若数列满足，且，．
（1）求数列的通项；
（2）是否存在，，，且，使得______成立?若存在，写出一组符合条件的，，的值；若不存在，请说明理由．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由，得，解得或．
由于，所以．
因为，所以．
故
，
整理，得，即．
因为数列满足，所以是单调递增数列，且，
故，因此，
则数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．
（2）若选①：满足条件的正整数，，存在，如，，．
假设存在，，，且，使得．
因为，则
，
整理，得
，
所以不妨设，所以，．
所以取，则，．
若选②：满足条件的正整数，，不存在．
理由如下：假设存在，，，且，使得，
则，整理，得，
显然，左边为整数，所以式不成立．故满足条件的正整数，，不存在．
5.已知数列的前项和为．
（1）证明：数列为等比数列，并求出．
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由已知，整理得，
所以，
令，得，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，，
当时，
当时，，
所以
所以
所以
．
6.设数列满足，且，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，所以，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）因为是首项为，公比为3的等比数列．
所以，
所以，
所以
，所以
，
所以．
7.己知数列满足
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明
【解析】（1）由题对两边同时除以得
又，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以；
（2）由
所以
因为所以，即.
8．数列是公差不为0的等差数列，满足，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求的值．
【解析】（1）设数列的公差为．
由题意得，解得或0（舍），
所
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