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参考答案
1．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；
（2）运用二面角的向量求解方法可求得答案.
【详解】
（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.
平面ABCD，.
在四边形ABCD中，，，.
又，平面.
（2）如图，连接，记，，连接，则平面ABCD，且.
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴?y轴?z轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
，，.
设平面的法向量为，则即
取，则，，是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则即
取，则，，所以是平面的一个法向量.
.
由图知，二面角为锐角，所求二面角的余弦值为.
2．（I）证明见解析；（II）．
【分析】
（I）由题易知，，进而得平面，故平面平面；
（II）由（I）知，，故得为二面角的平面角为，进而得，再计算体积即可.
【详解】
（I）证明：几何体是直棱柱，底面，底面，，
直三棱柱的底面是边长为的正三角形，是的中点，，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面；
（II）解：由（I）知，平面，则，，
可得为二面角的平面角为，
在中，可得，
等边三角形的边长为，
，，
则三棱锥的体积．
3．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理计算证明，，进而利用线面垂直判定定理证得平面，从而，在计算证得，得到平面，从而，证得平面；
（2）以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.
【详解】
（1）因为，，所以，所以，
又因为为平行四边形，所以，，
因为，，，所以，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，，，所以，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，所以平面.
（2）由（1）知，，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在三角形中，，
则，，，，，，
所以，
因为，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，于是取，
又由（1）知，底面为正方形，所以，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
所以是平面的一个法向量，
设二面角的大小为，则，
所以二面角的大小为.
4．（1）存在，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用线面判定定理证得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理证得结论.；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标及空间向量，设，利用共线求得点坐标，然后设与平面所成角为，利用结合空间向量数量积求得结果..
【详解】
解：（1）存在，当点为线段的中点时，平面平面.
证明：在长方体中，，.
又因为平面，平面，
所以平面.
又为的中点，为的中点，
所以，且.
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.
（2）在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，所以，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，，所以，
因为，设，则，
所以，则.
设与平面所成角为，
则，
即.
故与平面所成角的余弦值为.
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）取的中点，连接、，可知，，即可得到面，从而得证；
（2）建立空间直线坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】
解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以
（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则
6．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）证明两个线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系求解
【详解】
（1）,得,
因为为正三角形，所以为正三角形.因为为的中点.所以,因为,所以
因为，平面,
所以平面
(2)取的中点,由为正三角形知,易知平面.所以平而平面.又平面
平面平面,所以平面.
以为坐标系原点.建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为
所以取则,则.
同理取平面的法向量为
所以
所以平面ABC1与平面A1C1P所成锐二面角的余弦值为
7．(1)证明见解析；(2).
【分析】
(1)根据已知条件，先证明平面，即可证明；
(2)求解二面角，可以建立空间直角坐标系，转化为向量来处理.
【详解】
(1)证明：由题意得，，，
，，垂直于底面，
，，，，
可得，所以，故.
由，，，，，得.
又，由，得，所以，
故.
又，因此平面，
因为平面，故.
(2)如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴，
过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知各点坐标如下：
，，，
，，
因此，，
，.
设平面
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