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上一页下一页主页返回退出以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，这样的极值称为无条件极值.但还有很多极值问题，除受自变量定义域限制外,还受到其他条件的限制.例如，要设计一个容量为V的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长、宽、高分别为x,y,z,则表面积为依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：x0,y0,z0,而且还须满足条件这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的一般形式是在条件组：的限制下，求目标函数的极值.条件极值的一种求解方法是代入法.例如，在上述例子中，由条件解出代入目标函数中，然后求这个函数的无条件极值.得到然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因为要从条件组下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有效方法.解出m个变元常常是不可能的.引入辅助函数辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法解：1.作拉格朗日函数利用拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值步骤如下：2.求拉格朗日函数的极值先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：再考察稳定点是否是极值点拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件例要设计一个容量为V的长方体开口水箱,问求x,y,z令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？⑴⑵⑶⑷⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合题意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为练习用拉格朗日函数解题P126(13)上一页下一页主页返回退出
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