北京市朝阳区2024届高三上学期期末考试数学理试题(word版).doc

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北京市朝阳区2024-2024学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题〔理工类〕2024.1

〔考试时间120分钟总分值150分〕

本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两局部

第一局部〔选择题共40分〕

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.是虚数单位，假设复数是纯虚数，那么实数等于

A．B． C．D．

开始结束输入x是否输出k2.“〞是“直线与圆

开始

结束

输入x

是

否

输出k

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3.执行如下图的程序框图．假设输入，那么输出的值是

A．B．

C．D．

4.双曲线的中心在原点，一个焦点为，

点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，那么

此双曲线的方程是

A． B．

1正视图正视图俯视图C．

1

正视图

正视图

俯视图

5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，

假设选出的4人中既有男生又有女生，那么不同的选法共有

A．140种B．120种C．35种D．34种[

6.三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所

示，那么其侧视图的面积为

A．B．

C．D．

7.设集合，集合.假设中恰含有一个整数，那么实数的取值范围是

A．B． C．D．

8.在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，〔不包括端点〕上的动点，且线段平行于平面，那么四面体的体积的最大值是

A．B．C．D．

第二局部〔非选择题共110分〕

二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.数列是等差数列，数列是等比数列，那么的值为.

10.如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.

假设，，那么=，〔用表示〕.

11.假设关于，的不等式组〔是常数〕所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，那么.

12.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．

13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，那么．

14.将整数填入如下图的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，那么第三列各数之和的最小值为，最大值为.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.〔本小题总分值13分〕

函数.

〔Ⅰ〕求函数的最小正周期及单调递减区间；

〔Ⅱ〕求函数在上的最小值.

16.〔本小题总分值14分〕

在长方体中，，点在棱上，且．

A1B1ECB

A1

B1

E

C

B

D1

C1

A

D

〔Ⅱ〕在棱上是否存在点，使∥平面？

假设存在，求出线段的长；假设不存在，请说明理由；

〔Ⅲ〕假设二面角的余弦值为，求棱的

长．

17.〔本小题总分值13分〕

某中学举行了一次“环保知识竞赛〞，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了局部学生的成绩〔得分取正整数，总分值为100分〕作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图〔如下图〕解决以下问题：

组距频率

组距

频率

成绩〔分〕

频率分布直方图

0.040

x

▓

0.008

▓

50

60

80

70

90

100

y

频率分布表

组别

分组

频数

频率

第1组

[50，60〕

8

0.16

第2组

[60，70〕

a

▓

第3组

[70，80〕

20

0.40

第4组

[80，90〕

▓

0.08

第5组

[90，100]

2

b

合计

▓

▓

〔Ⅰ〕写出的值；

〔Ⅱ〕在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上〔含80分〕的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；

〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.

18.〔本小题总分值13分〕

函数．

〔Ⅰ〕假设，求曲线在点处的切线方程；

〔Ⅱ〕求函数的单调区间；

〔Ⅲ〕设函数．假设至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

19.〔本小题总分值14分〕