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北京市朝阳区2024-2024学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题〔理工类〕2024.1
〔考试时间120分钟总分值150分〕
本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两局部
第一局部〔选择题共40分〕
一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.是虚数单位,假设复数是纯虚数,那么实数等于
A.B. C.D.
开始结束输入x是否输出k2.“〞是“直线与圆
开始
结束
输入x
是
否
输出k
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.执行如下图的程序框图.假设输入,那么输出的值是
A.B.
C.D.
4.双曲线的中心在原点,一个焦点为,
点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为,那么
此双曲线的方程是
A. B.
1正视图正视图俯视图C.
1
正视图
正视图
俯视图
5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,
假设选出的4人中既有男生又有女生,那么不同的选法共有
A.140种B.120种C.35种D.34种[
6.三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所
示,那么其侧视图的面积为
A.B.
C.D.
7.设集合,集合.假设中恰含有一个整数,那么实数的取值范围是
A.B. C.D.
8.在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,〔不包括端点〕上的动点,且线段平行于平面,那么四面体的体积的最大值是
A.B.C.D.
第二局部〔非选择题共110分〕
二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.数列是等差数列,数列是等比数列,那么的值为.
10.如图,,是半径为的圆的两条弦,它们相交于的中点.
假设,,那么=,〔用表示〕.
11.假设关于,的不等式组〔是常数〕所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,那么.
12.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为.
13.在直角三角形中,,,点是斜边上的一个三等分点,那么.
14.将整数填入如下图的行列的表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,那么第三列各数之和的最小值为,最大值为.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.〔本小题总分值13分〕
函数.
〔Ⅰ〕求函数的最小正周期及单调递减区间;
〔Ⅱ〕求函数在上的最小值.
16.〔本小题总分值14分〕
在长方体中,,点在棱上,且.
A1B1ECB
A1
B1
E
C
B
D1
C1
A
D
〔Ⅱ〕在棱上是否存在点,使∥平面?
假设存在,求出线段的长;假设不存在,请说明理由;
〔Ⅲ〕假设二面角的余弦值为,求棱的
长.
17.〔本小题总分值13分〕
某中学举行了一次“环保知识竞赛〞,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了局部学生的成绩〔得分取正整数,总分值为100分〕作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图〔如下图〕解决以下问题:
组距频率
组距
频率
成绩〔分〕
频率分布直方图
0.040
x
▓
0.008
▓
50
60
80
70
90
100
y
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60〕
8
0.16
第2组
[60,70〕
a
▓
第3组
[70,80〕
20
0.40
第4组
[80,90〕
▓
0.08
第5组
[90,100]
2
b
合计
▓
▓
〔Ⅰ〕写出的值;
〔Ⅱ〕在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上〔含80分〕的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率;
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下,设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数,求的分布列及其数学期望.
18.〔本小题总分值13分〕
函数.
〔Ⅰ〕假设,求曲线在点处的切线方程;
〔Ⅱ〕求函数的单调区间;
〔Ⅲ〕设函数.假设至少存在一个,使得成立,求实数的
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