专题12 函数模型及其应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习.docxVIP

专题12函数模型及其应用

【考点总结】

1．几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

对数函数模型

f(x)＝blogax＋c

(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

幂函数模型

f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

2.三种函数模型性质比较

y＝ax(a1)

y＝logax(a1)

y＝xn(n0)

在(0，＋∞)上的单调性

增函数

增函数

增函数

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x值增大，图象与y轴接近平行

随x值增大，图象与x轴接近平行

随n值变化而不同

【常用结论】

1．“对勾”函数

形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．

(2)当x0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，

当x0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).

2．解决函数应用问题应注意的3个易误点

(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．

(2)解应用题建模后一定要注意定义域．

(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．

【易错总结】

(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；

(2)建立函数模型出错；

(3)分段函数模型的分并把握不准．

例1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

A．f(x)g(x)h(x) B．g(x)f(x)h(x)

C．g(x)h(x)f(x) D．f(x)h(x)g(x)

解析：选B.由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．故选B.

例2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．

解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．

答案：18

例3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．

解析：由题意可得

y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0x≤100，,0.4x＋10，x100.))

答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0x≤100，,0.4x＋10，x100))

【考点解析】

【考点】一、应用所给函数模型解决实际问题

例1、(1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()

A．30元 B．60元

C．28000元 D．23000元

(2)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

【解析】(1)设毛利润为L(p)元，则由题意知

L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)

＝(8300－170p－p2)(p－20)

＝－p3－150p2＋11700p－166000，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.

令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．

当p∈(0，30)时，L′(p)0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.

(2)因为m＝6.5，所以[m]＝6，

则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

【答案】(1)D(2)4.24

求解所给函