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题型六几何最值(复习讲义)
【考点总结|典例分析】
解决几何最值问题的理论依据有:①两点之间线段最短;②垂线段最短;③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值);④定圆中的所有弦中,直径最长;⑤圆外一点与圆心的连线上,该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键,直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段.
动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数自数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目,无不包含其中.
其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变,而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想),本专题以几个基本的知识点为经,以历年来中考真题为纬,由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.
考点01胡不归
胡不归模型问题解题步骤如下;
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式(1),若1,提取系数,转化为小于1的形式解决。
2、在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度α,使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
【模型展示】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1V2,A、B为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小.
,记,
即求BC+kAC的最小值.
构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.
将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.
考点02阿氏圆
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似,构造△PAB∽△CAP推出PA2?,即:半径的平方=原有线段?构造线段。
【模型展示】
如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.
(1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则.
证明:,,即
(2)外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则.
证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,则,即.
接下来开始证明步骤:
如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;
作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;
又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
考点03费马点
费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况:
(1)当三角形三个内角都小于120°的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题。
(2)当三角形有一个内角大于120°时,费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧:
旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题
【模型展示】
问题:在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.
【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.
(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.
(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:△ADC≌△ABE.
(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)
(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.
在图三的模型里有结论:(1)∠BPD=60°;(2)连接AP,AP平分∠DPE.
有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!
考点04瓜豆原理
动点的轨迹为定圆时,可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
(1)动点到定点的距离不变,则点的轨迹是圆或者圆弧。
(2)当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆,具体运用如下;
=1\*GB3①见直角,找斜边,想直径,定外心,现
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