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北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合.若,则的最大值为(????)
A.2 B.0 C. D.-2
2.在的展开式中,的系数为(????)
A. B.
C. D.
3.函数是(????)
A.偶函数,且没有极值点 B.偶函数,且有一个极值点
C.奇函数,且没有极值点 D.奇函数,且有一个极值点
4.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,则线段的中点的纵坐标为(????)
A. B. C.3 D.4
5.在中,,则的长为(????)
A.6或 B.6 C. D.3
6.设,且,则(????)
A. B.
C. D.
7.在中,,点满足,且,则(????)
A. B. C. D.
8.设是公比为的无穷等比数列,为其前项和,.则“”是“存在最小值”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设函数的定义域为,对于函数图象上一点,若集合只有1个元素,则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是(????)
A. B.
C. D.
10.设数列的各项均为非零的整数,其前项和为.若为正偶数,均有,且,则的最小值为(????)
A.0 B.22 C.26 D.31
二、填空题
11.若,则.
12.已知双曲线,则的离心率为;以的一个焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为.(写出一个即可)
13.已知函数.
(i)若,则函数的最小正周期为.
(ii)若函数在区间上的最小值为,则实数.
14.二维码是一种利用黑?白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁,现用一款破译器对其进行安全性测试,已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码,为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于,则的最小值为.
15.如图,在正方体中,为棱上的动点,平面为垂足.给出下列四个结论:
①;
②线段的长随线段的长增大而增大;
③存在点,使得;
④存在点,使得平面.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题
16.已知函数,从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在且唯一确定.
(1)求的值;
(2)若不等式在区间内有解,求的取值范围.
条件①:;
条件②:的图象可由的图象平移得到;
条件③:在区间内无极值点,且.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
17.在三棱锥中,为的中点.
(1)如图1,若为棱上一点,且,求证:平面平面;
(2)如图2,若为延长线上一点,且平面,直线与平面所成角为,求直线与平面所成角的正弦值.
18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中,小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本,获得数据如下表(单位:张):
识别结果真实性别
男
女
无法识别
男
90
20
10
女
10
60
10
假设用频率估计概率,且该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)从这200张照片中随机抽取一张,已知这张照片的识别结果为女性,求识别正确的概率;
(2)在新一轮测试中,小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试,每张照片至多测一次,当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕,则停止测试.设表示测试的次数,估计的分布列和数学期望;
(3)为处理无法识别的照片,该小组同学提出上述程序修改的三个方案:
方案一:将无法识别的照片全部判定为女性;
方案二:将无法识别的照片全部判定为男性;
方案三:将无法识别的照片随机判定为男性或女性(即判定为男性的概率为50%,判定为女性的概率为.
现从若干张不同的人脸照片(其中男性?女性照片的数量之比为)中随机抽取一张,分别用方案一?方案二?方案三进行识别,其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.(结论不要求证明)
19.已知椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形,且其周长为.
(1)求栯圆的方程;
(2)设过点的直线(不与坐标轴垂直)与椭圆交于不同的两点,与直线交于点.点在轴上,为坐标平面内的一点,四边形是菱形.求证:直线过定点.
20.已知函数.
(1)若,
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