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黑龙江省勃利县高级中学2024年高三3月份第一次模拟考试数学试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数,则下列说法正确的是()
A. B.
C. D.
2.如图,在正四棱柱中,,分别为的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则()
A.直线与直线异面,且 B.直线与直线共面,且
C.直线与直线异面,且 D.直线与直线共面,且
3.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知集合,集合,那么等于()
A. B. C. D.
5.如果,那么下列不等式成立的是()
A. B.
C. D.
6.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()
A. B. C. D.
7.下列四个图象可能是函数图象的是()
A. B. C. D.
8.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
9.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是()
A. B. C. D.
10.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi|=().
A. B. C. D.5
11.已知全集,集合,则()
A. B. C. D.
12.如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点()
A.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
B.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
D.向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知点为双曲线的右焦点,两点在双曲线上,且关于原点对称,若,设,且,则该双曲线的焦距的取值范围是________.
14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.
15.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.
16.过抛物线C:()的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若,则l的斜率为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在数列中,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若存在,使得成立,求实数的最小值
18.(12分)已知点为圆:上的动点,为坐标原点,过作直线的垂线(当、重合时,直线约定为轴),垂足为,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求点的轨迹的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程为,连接并延长交于,求的最大值.
19.(12分)已知数列为公差为d的等差数列,,,且,,依次成等比数列,.
(1)求数列的前n项和;
(2)若,求数列的前n项和为.
20.(12分)如图,在直棱柱中,底面为菱形,,,与相交于点,与相交于点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
21.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
22.(10分)如图是圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不同于的任意一点
(1)求证:平面平面;
(2)设为的中点,为上的动点(不与重合)求二面角的正切值的最小值
参考答案
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