高中数学：48月2527日立体几何.docx

2022届高三数学暑期专题复习------大题专训立体几何

一、解答题

1．已知直四棱柱中，，，.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的余弦值.

2．如图所示，直三棱柱的底面是边长为的正三角形，，分别是，的中点．

（I）求证：平面平面．

（II）若二面角为，求三棱锥的体积．

3．在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，.

（1）证明：平面；

（2）如图，取的中点为，在线段上取一点使得，求二面角的大小.

4．在长方体中，已知，为的中点.

（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；

（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.

5．如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.

（1）证明：；

（2）求与平面所成角的正弦值

6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，AC1＝2，点P为BB1的中点.

（1）证明：CC1⊥平面A1C1P.

（2）求平面ABC1与平面A1C1P所成锐二面角的余弦值.

7．如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

8．已知四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

9．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿折起得三棱锥，如图乙．

（1）求证：平面平面；

（2）过棱作平面交棱于点M，且三棱锥和的体积比为1∶2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

10．如图，在多面体中，四边形和均为直角梯形，，，且，，.

（1）求证：平面，

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

11．在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为.

（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；

（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记满足的不等式组所表示的几何体为请运用祖暅原理求证与的体积相等，并求出体积的大小.

12．如图，在等腰直角三角形ADP中，，，B，C分别是AP，DP上的点，且，E，F分别是AB，PC的中点．现将△PBC沿BC折起，得到四棱锥P-ABCD，连接EF．

（1）证明∶平面；

（2）是否存在点B，当将△PBC沿BC折起到时，二面角的余弦值等于？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由．