江苏省海门中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案解析）.docx

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江苏省海门中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知单位向量的夹角为，则（????）

A．1 B． C． D．3

2．已知为纯虚数，则实数a的值为（????）

A．2 B．1 C． D．

3．已知，则（????）

A． B． C． D．

4．在中，若，则（????）

A． B． C． D．

5．如图，在矩形中，是的中点，则（????）

A．

B．

C．

D．

6．设的面积为，若，则角（????）

A． B． C． D．

7．若，则（????）

A． B．2 C．-2或 D．或2

8．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．，

B．

C．若，，则的最小值为1

D．若是关于x的方程的根，则

10．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（????）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则符合条件的有两个

C．若，则为等腰三角形

D．若，则为直角三角形

11．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，，则下列结论正确的是（????）

??

A． B．

C． D．与的夹角为

三、填空题

12．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则．

13．已知，，则．

14．已知的外接圆半径为1，则的最小值是.

四、解答题

15．已知角和满足.

(1)若，求的值:

(2)若，求的值.

16．如图，在中，已知分别为边上的中点，相交于点.

(1)求；

(2)求的值.

17．已知函数.

(1)若，求的值；

(2)若，求的值.

18．在中，角所对的边分别为，且.

(1)求角；

(2)若为的中点，且，求.

19．在凸四边形中，.

(1)若四点共圆，，求四边形的面积：

(2)若，求的值.

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参考答案：

1．C

【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解.

【详解】由已知有，.

故.

故选：C.

2．A

【分析】利用复数的四则运算化简，再利用复数的分类即可得解.

【详解】因为，

因为为纯虚数，所以，则.

故选：A.

3．C

【分析】直接使用半角公式（或逆用二倍角公式得到半角公式）即可.

【详解】.

故选：C.

4．D

【分析】直接利用正弦定理计算可得.

【详解】因为，

所以由正弦定理，可得，

解得．

故选：D．

5．A

【分析】平面向量的线性运算，利用加减法运算以及数乘运算即可得到结果.

【详解】由图可知：.

故选：A.

6．B

【分析】由面积公式及数量积的定义求出，即可得解.

【详解】由，得，即，

因为，所以，

因为，所以．

故选：B．

7．B

【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式，结合已知条件即可求解.

【详解】由于，故，即.

所以.

故选：B.

8．D

【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得.

【详解】因为，则由正弦定理得，

又，

所以，

则，

又，，则

所以或，即或（舍去），

则，

所以，解得，则，

所以

，

所以的取值范围是．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数.

9．ACD

【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.

【详解】对于A，，设复数，则，，

故，A正确；

对于B，由于，故，B错误；

对于C，，设，由于，则，

故，

由，得，则，

故当时，的最小值为1，C正确；

对于D，是关于x的方程的根，

故，即，

故，D正确，

故选：ACD

10．ABD

【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或.

【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确；

对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确；

对于C，若，，