(32)--2.3.2线性谐振子量子力学.ppt

§2.3.2线性谐振子势场定态薛定谔方程三.能级和波函数四.讨论

一.势场自然界广泛存在简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，

axV(x)0V0由于a点为势函数的极值点，势函数的一阶为零在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：

取新坐标原点为(a,V0)，也就是把位置的坐标原点选在a上，势能的零点选在V0上则势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下，粒子在平衡位置附近的小运动，往往可以用线性谐振动来近似描述。

二.定态薛定谔方程为了处理问题的方便，在方程中做如下的无量纲化变换：方程:

则方程变成：我们考虑此方程的渐近解:当ξ→±∞时，方程变为：我们发现它的解为：

考虑到是束缚态，无穷远处波函数为零，所以应该舍去。这里我们引入了一个H函数，波函数重新写成，渐进解和H函数相乘的形式带入薛定谔方程，可得关于H(ξ)的如下方程：

三.能级和波函数可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→eξ2,仍然使ψ(ξ)发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式，要求H(ξ)是ξ的n次多项式。

1.级数求解令各次幂系数等于零，递推关系代入有关H函数的方程中，

2.有限条件上面得到了方程的通解，考虑波函数标准条件：单值，有限，连续。上面的级数显然满足单值和连续条件。下面考虑有限条件。

波函数有限的条件不能满足，这是不容许的。为了使波函数满足有限条件，上面的级数必须从某一项起中断而成为多项式。

3.能级

把上式左边的n变成n—1，右边的n+2变成n+1，则得到递推关系

下面给出头五个厄密多项式一般表达式递推关系

对应的波函数是：四.讨论1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：

利用厄密多项式的递推关系式可以推出重要关系式（有关谐振子问题的计算中经常用到！）

2.分立能级(1)能级是分立的,是等间隔的；(2)零点能是

3.粒子运动的范围及几率分布经典振子的运动范围是振幅之内，量子振子在空间出现的几率密度为

我们以基态为例，做一个说明，对于基态，空间概率分布为：属于经典禁区按经典力学观点，粒子仅在范围内运动由可得经典振幅

经典振幅的位置，在图上为表征基态能级的直线和表征谐振子势场的抛物线的交点，可见在交点之外，波函数并不全为零。粒子可有一定概率处于经典禁区，对于基态，计算可得此概率为约为