高中数学：2《3-2-2抛物线的简单几何性质第二课时》教学设计 (1).docx

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教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

3.3.2抛物线的简单几何性质（2）

教科书

书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（A版）教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学目标

1.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养；

2.2.了解抛物线的简单应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.

教学内容

教学重点：

1.抛物线的几何性质及抛物线性质的应用；

2.初步掌握有关抛物线的解题方法,培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学难点：

1.“设而不求”，“整体代换”等解法的灵活应用；

2.坐标法在解决解析几何问题中的应用.

教学过程

一、引入自学

问题1抛物线的简单几何性质都有哪些？各种标准方程形式下的几何性质分别是什么？

抛物线的简单几何性质

标准方程

图形

范围

对称轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

e＝1

通径长

2p

教材P138习题3.3复习巩固T2填空题：

(1)准线方程为的抛物线的标准方程是_________________;

(2)抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是__________________________.

二、合作研学

问题2经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.

追问1：这条抛物线的对称轴是什么？

抛物线开口方向与轴的正方向相同，抛物线在轴右侧，对称轴为轴.

追问2：如何证明一条直线平行于轴？

直线斜率为0、直线上任意两点纵坐标相等，等等方法.

因此，本题可证明点，点的纵坐标相等.

追问3：如何求点，点的纵坐标？

点为直线与抛物线的交点，需要构建直线方程与抛物线方程间的联系.

点为直线与抛物线准线的交点，需要构建直线方程与准线方程间的联系.

因此，我们从点与焦点弦的关系出发，通过设直线的方程，从而表示点.

追问4：如何设直线的方程便于计算？

不妨将过焦点的直线方程设为，从而避免直线斜率是否存在的分类讨论.

【解析】设设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，由韦达定理知：，即.

直线的方程为，因为，所以直线的方程为.

令，得点纵坐标为.所以.所以直线平行于轴.

即直线平行于抛物线的对称轴.

思维升华：本题揭示了处理解析几何问题的核心方法——坐标法.求解中，将直线与轴平行问题转化为两点纵坐标相等，借助根与系数的关系，整体代换进行求解.

思考：在顺利完成本题的解答后我们又想到，这个结论在一般的抛物线方程中是否仍然成立？

问题3经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.

分析：我们以抛物线为例进行证明.

依然用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点的纵坐标与点的纵坐标相等即可.

方法一如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为

原点，建立平面直角坐标系.

设，设抛物线的方程为，①

设过焦点的直线方程为，②

联立①②，消去，可得.所以.即.

直线的方程为，因为，

所以直线的方程为.

令，得点纵坐标为.所以.所以直线平行于轴.

即直线平行于抛物线的对称轴.

其他抛物线形式也可以类似得到证明，请同学们课下完成.

三、展示激学

追问1：你还有其他证明方法吗？

从点与抛物线的关系出发，通过设点的坐标，得到直线，直线方程，联系抛物线方程和准线方程，从而表示点，点.

追问2：点坐标如何表示？

因为点是抛物线上的点，所以.

追问3：为什么用含有的式子表示点坐标？

因为本题要求证的是平行关系，只需证明纵坐标相等，因此我们倾向于用纵坐标表示点坐标.

方法二如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系

.设抛物线的方程为，①

设点的坐标为，则直线的方程为，②

抛物线的准线方程是.③

联立②③，可得点的纵坐标为.

因为焦点的坐标是，

当时，直线的方程为，④

联立①④，消去，可得，所以.

即.所以.于是平行于轴.

当时，易知结论成立.

所以，直线平行于抛物线的对称轴.

思维升华：问题3是抛物线的一个性质，由这个性质我们发现经过抛物线的焦点和顶点的直线很重要.本题的求解采用了坐标法，通过代数运算解决问题，把平行关系转化为坐标间的关系.

四、精讲领学

问题4如图，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程.

追问1：什么是轨迹方程？

符合一定条件的动点所形成的图形,或者说符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的