图的彩虹连通性若干问题研究.pdf

中文摘要 中文摘要 提出的。令G是一个非平凡的连通图，在G上定义一个边染色C：E(G)j fl，2，…，，21}，rl∈N，这里相邻的边的颜色可能相同。一条路是彩虹的如果这条路 上没有两条边的颜色相同。一个边染色图是彩虹连通的如果每两个不同顶点之 间都有一条彩虹路连接。使得图G彩虹连通的边染色称为彩虹染色。显然，如 果一个图是彩虹连通的，那么它必然连通。相反，每个连通图有个平凡的边染 色来使它彩虹连通：给不同的边以不同的颜色。因此我们定义连通图G的彩虹 连通数为使得G彩虹连通所需最少颜色的个数，记为rc(G)。 彩虹连通数不仅是一个自然的组合测度，也应用于机构之间机密信息的安 全传输。此外，彩虹连通数也出于其在网络领域的有趣的解释：假设G表示一 个网络(例如，蜂窝网络)。我们希望能在任何两个顶点之间通过管道传递消 息，并要求连接顶点的线路上的每段(即路径上的每个边)被分配一个独特的 频道(例如，不同的频率)。我们显然要求网络中所使用的不同频道的个数最 少，这个数字恰恰就是rc(C)。 令C是图G的一个彩虹染色。对G的任何两点bt和v，G中的一条彩 虹U—v测地线是一条长度为d(u，v)的“一v彩虹路。图G称为强彩虹连通 的如果对G中的每对不同顶点l,t和v都存在一条彩虹“一v测地线。这种 情况下，染色C称为G的强彩虹染色。类似地，我们定义连通图G的强彩 虹连通数为使得图G强彩虹连通所需最少颜色的个数，记为src(O)。显然 有diam(G)≤rc(C)S 数。 彩虹染色的一个自然的推广是：在某个边染色下，任何两点之间的彩虹路 的个数至少是k条，这里k≥l。Menger定理指出每个7c．连通图G，存在k条 内部不交的连接每对不同顶点／,／和v的路，这里7c≥1，1≤k≤7c。与彩虹染色类 似，我们称一个边染色为彩虹尼．染色如果对任意两个不同的顶点／,／和v，存在至 连通度I'Ck(G)为最小的整数．7使得存在一个．『-边染色为彩虹|i=．染色。根据定义， 中文摘要 边以不同的颜色，我们可以看到图G的每两个顶点之间都至少有k条内部不交 K。 是合理的。进一步，我们有rck(G)≤rcj(G)，这里1≤k≤’『S 本文包括两部分。第一部分包含第2、3、4、5章，主要研究彩虹连通数和 强彩虹连通数。第二部分是第6章，主要研究图的彩虹七．连通度。 在第2章中，我们考虑图的彩虹连通数和强彩虹连通数的上界。我们首先 通过给图G的补图石一些限制条件来研究图G的彩虹连通数，并且给出两个充 分条件使得rc(G)有常数上界。第一个结果是：对每个连通图G，如果否不属 于下面两种情况： 个是平凡的，那么rc(G)<4。有例子表明这个界是紧的。第二个结果是：对每 6。其次，我们根据图G的 个连通图G，如果吞是无三角形图，那么rc(G)S 边不交三角形的个数给出了的src(G)的一个紧的上界：如果G是一个有"2条 边和f个边不交三角形，那么src(G)≤171—2t。我们还给出了等式成立的充要条 件。 在第3章中，我们研究了具有大的(强)彩虹连通数的图。我们得 ，72—2)的图。 在第4章中，我们研究了一个重要的图类，线图。我们首先考虑了无三 角形图的线图的彩虹连通数，并且根据线图或者原图的一些参数来给出两个 上界。其次，我们研究了含有三角形的图的线图的彩虹连通数，并且根据原 图的一些参数得到了两个紧的上界。第一个结果是：对于连通图G的一个含 有r个边不交三角形的集合少，如果罗的边集导出的子图是个三角．树．结 构，那么，℃(L(G))<，12一r，并且这个界是紧的。第二个结果是：如果G是 一个连通图， 少是一个含有r个边不交三角形的集合，且这些三角形覆盖 了除，2；个内点以外的G的所有内点，C是导出子图G陋(少)]的连通分支个 数，那么rc(C(C))≤，+F／；+c；并且这个界是紧的。我们还研究了迭代线图的 彩虹连通数并且得到：令G是一个有m条边和m1条长度为2的悬挂路，那 么rc(L'-(O))<，72一ml，等式成立当且仅当G是个长度至少为3的路。 在第5章中，我们研究了图运算下的彩虹连通数。对于卡