网络的若干稳定性参数研究.pdf

摘要 摘要 稳定性(也称为脆弱性)研究，特别是网络，从简单的网络到大型的计算 机网络、通讯系统、分布式系统等等，的稳定性研究已经取得极大的进步，得 到了许多很好的结果。对网络设计者来说，如何提高通讯网络的稳定性具有十 分重要的意义，因为当网络的组件或者组件之间的联系遭到破坏的时候，网络 的通信效率势必会受到影响。很显然，一个好的通讯网络至少应该具有两个性 质：(1)网络不易遭受破坏；(2)受到破坏后能够尽快的得到修复，即使其能够 继续正常运作。因此，在设计通讯网络时，一定要使其尽可能的稳定，不但要 考虑通讯网络可能会遭受的破坏，而且要考虑其受到破坏后的修复问题。 一个网络可以用一个连通图来表示，其中图的顶点表示网络中的组件，图 的边表示连接两个组件之间的通讯信道。很明显，一个图的连通性越好，它所 代表的网络就越稳定，因此研究网络的稳定性实质上就是研究图的连通性。基 于以上分析，许多图的连通性参数被用来刻画通讯网络的稳定性，其中使用最 早，且使用频率最高的是连通度和边连通度这两个参数。Menger等人在利用 连通度和边连通度来研究网络的稳定性方面做了大量卓有成效的工作。但随着 研究的深入，人们发现这两个参数在刻画网络的稳定性方面有一定的不足，就 是它们没有刻画网络受到破坏后的性状。随后，许多新的参数被引入来弥补连 通度、边连通度在刻画网络稳定性方面的不足，这些参数包括坚韧度和边坚韧 度、粘连度和边粘连度、完整度和边完整度、离散数和断裂度。与连通度、边 连通度不同的是，这些参数不仅刻画了网络遭受破坏的难易程度，而且刻画了 网络受到破坏后的性状，即网络遭受破坏的程度。我们称这些参数为“标准稳 定性参数”。 作为一种特殊的网络，间谍网络的研究在现代受到越来越多的关注。1978 点代表间谍，边表示间谍之间的联络关系。显然的，在间谍网络中，当一个间 谍被发现或者逮捕以后，因为考虑其可能会叛变，间谍组织将不再相信和被发 现或者逮捕的间谍直接联系的任何别的间谍，因此这些间谍对整个网络而言就 失去作用了。这样的话，如果我们用点u来表示已经叛变的间谍，则上面关于 叛变间谍及其联络者对整个网络失去意义的描述就相当于在代表间谍网络的图 中将点口的闭邻域ⅣM整个去掉。显然用己知的标准稳定性参数已经无法衡 摘要 量间谍网络的稳定性。于是一些新的参数如邻域连通度和边邻域连通度、邻域 完整度和边邻域完整度、邻域离散数和边邻域离散数等被引入来刻画间谍网络 的稳定性。显然以上这些参数是标准稳定性参数在邻域状态下的推广，我们称 其为“邻域稳定性参数”。可以看到，网络在标准和邻域状态下的稳定性是有 区别的。 本论文分为三个部分，第～部分是关于论文的研究背景介绍，第二部分是 关于网络的一个邻域稳定性参数一邻域离散数的研究，而第三部分是关于网络 的两个标准稳定性参数一断裂度和粘连度的研究。 论文的第一部分就是第一章。在这章中，我们系统介绍了网络稳定性研究 的历史和现状，对已经有的一些参数的研究结果做了简单的说明，介绍了文章 所用到的部分符号和公式，并且列举了文章的主要研究结果。 论文第二部分关于邻域离散数的研究包括第2，3，4和第5章。 在第二章里，我们证明了对一般图，图的邻域离散数的计算是一个ⅣP完 备问题，并且我们给出了图的邻域离散数的基于别的参数如邻域连通度独立数 覆盖数等的一些上界和下界，最后我们给出了计算两个不同且非交的图的并图 和联图的邻域离散数的运算公式。 在第三章中，我们研究了正则图的邻域离散数。特别是我们证明了七正则 的，1一％邻域离散的，并且包含一个％团的图的最小阶数是％2+忌。并且我 们给出了图Gk的定义，证明了七2+忌阶的，k正则的，1一七邻域离散的， 并且包含一个七团的任意图G满足G鲁G如，其中正整数七满足七≥3，从而 给出了构造这类图的一种方法。 在通讯网络的研究中，关于最小临界册一邻域离散网络的边数的研究对通 讯网络具有很好的意义和应用，因为表示网络的图的边数越多，说明建设网络 的费用越高，所以我们希望设计的网络具有最少或者尽量少的边数以降低成 本。在第四章中，我们确定了顶点数p和给定的整数m≤一1下最小临界”卜 邻域离散图的边数的一些上，下界，进而我们在满足阶数p足够大，整数m 足够小的前提下，给出了构造最小临界m一邻域离散图的一个(1+E)近似图