101144_等差数列_张少武.ppt

等差数列定义及通项公式一、举例4，5，6，7，8，9，10 ；⑴3 ，0，-3 ，-6 ，…；⑵1/10 ，2/10 ，3/10 ，4/10 ，…；⑶特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。二、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列; 这个常数就叫做等差数列的公差; 公差通常用字母d 表示。在数列{an} 中，若an+1 - an=d (n∈N*) , d 为常数，则{an} 是等差数列。常数d 叫做等差数列的公差。特例：0，0，0，0，…a , a , a , a , …理解：①第二项起；②“同一个”③求公差d时，可以用d ＝an –an －1 ，也可以用d ＝an+1 –an ；④公差d ∈R ，当d=0 时，数列为常数列，d>0 时,数列为递增数列，d<0 时,数列为递减数列；⑤d ＝an 　–an －1或d ＝an+1 –an 是证明或判断等差数列的依据。三、等差数列的通项公式：1、公式推导：归纳法：∵{an} 是等差数列，则有a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d ……an=an-1+d=a1+(n –1)d ∴an=a1+(n –1)d 又，当n=1 时,等式成立∴n∈N* 时，an=a1+(n –1)d 叠加法：∵{an} 是等差数列，则有an －an-1 ＝d an-1 －an-2 ＝d an-2 －an-3 ＝d ……a2 －a1 ＝d ∴an –a1=(n –1)d ∴an=a1+(n –1)d 2、通项公式：an=a1+(n –1)d ，a1 为首项，d为公差。3 、公式变形：对任意的p、q ∈N* ，在等差数列中，有ap=a1+(p –1)d aq=a1+(q –1)d ∴ap –aq=(p –q)d ∴ap=aq+(p –q)d ( 其中p、q的关系可以有p>q , p=q , p<q) 4、通项公式的应用：①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；②已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。四、例题评讲：例1、判断下列数列是否为等差数列。⑴　1，2，4，6，8；⑵　2，4，6，8，10 ；⑶　0，0，0，0，0；⑷　1，2，4，7，11 ；例2、⑴求等差数列8，5，2，…的第20 项。⑵－401 是不是等差数列–5 ，–9 ，–13 ，…的项？如果是，是第几项？分析：对于⑴小题，是由公式求指定项，为此将a1=8,d= –3,n=20 代入，就可求出相应的项。对于⑵小题，是判断一个数是否为等差数列的项，可用解方程的方法。⑴求等差数列8，5，2，…的第20 项。解：由a1=8,d=5-8=-3,n=20 ，得a20=8+(20-1) ×(-3)= - 49 ⑵－401 是不是等差数列–5 ，–9 ，–13 ，…的项？如果是，是第几项？解：由a1= - 5 ，d= - 9 - ( - 5)= - 4, 得an= - 5 - 4(n - 1) 令- 401= - 5 - 4(n - 1) 解得n=100 ，即- 401 是为个数列的第100 项。说明：判断一个数是否为等差数列的项，要看关于通项公式构成的以n为末知数的方程有没有正整数解。例3、　在等差数列{an} 中，已知a5=10,a12=31 ，求首项a1 与公差d。解：依题意得a1+4d=10 a1+11d=31 解得：a1= - 2 , d = 3 ; 即这个等差数列的首项是-2 ，公差是3。五、课堂练习：1、求等差数列3，7，11 ，…的第4项与第10 项。2 、求等差数列10 ，8，6，…的第20 项。3 、在等差数列{an} 中，已知a4=10,a7=19 求首项a1 与公差d。4 、在等差数列{an} 中，已知a3=9,a9=3 求首项a1 与公差d。六、小结：等差数列的定义、通项公式及简单应用。七、作业：P118 习题3.2 1 、2、3 课程结束　　　　　　谢谢大家* 河南省偃师高中　　张少武