余弦定理公式.docVIP

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos=sin, sin=cos （2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB S= pr = (其中p=, r为内切圆半径) （3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 2．正弦定理： 证明：由三角形面积 得 画出三角形的外接圆及直径易得： 3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图ΔABC中， 当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；a<bsinA时无解。 5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题： 　　（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力 双基题目练练手 1．(2006山东)在中，角的对边分别为，已知，则A.1 B.2 C. D. 2．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ） A. B. C. D. 3．（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( ) A. B. C. D. 5.（2006全国Ⅱ）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________. 6.(2006春上海)在△中，已知，三角形面积为12，则 . ◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b. 4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6. 四、经典例题做一做 【例1】(2006天津)如图，在中，，，． （1）求的值； （2）求的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理， ∴ （Ⅱ）解：由，且得 由正弦定理: 解得。所以，。由倍角公式 ， 且，故 . ◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制. 【例2】在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c． 解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a, 所以有两解A=60°或A=120° (1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=, (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c= ◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论． 【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？ [解] 连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700 于是,BC=10 ∵, ∴sin∠ACB=, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援成立，求△ABC面积S的最大值． 解：由已知条件得 ．即有 ， 又 　　∴ ． ∴ 当时, ． ◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。 2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质． 【研讨.欣赏】 （2006江西）如图,已知△是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过△的中心.设. 试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数; 求的最大值与最小值. 解: (1)因为为边长为的正三角形的中