弹性力学 全套课件（下）.ppt

第五章用差分法和变分法解平面问题 5－1差分公式的推导 5－2应力函数的差分解 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－5 位移变分方程 5－6 位移变分法 1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。 §6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示 面力 位移函数 应变 应力 结点位移列阵 结点力列阵 ——结点虚位移， ——对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。 §6-2 有限单元法的概念 FEM的概念，可以简述为：用方法求解弹力问题结力。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。 结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。 将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。 与 相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。 （3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为 ——结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。 ——单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。 （6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为 思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？ §6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 插值公式 在结点 应等于结点位移值 由此可求出 其中 包含 将式 按未知数 归纳，可表示为 或用矩阵表示为 N — 称为形（态）函数矩阵。 其中 三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的一次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示， 的分布如图 所示。 FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。 所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了 保证FEM收敛性,位移模式应满足下列 条件： 对式（a）求应变，得 为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。 思考题 1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？ 2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。 §6-4 单元的应变列阵和应力列阵 应用几何方程，求出单元的应变列阵 ： 对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。 思考题 1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位