弹性力学第九章 薄板弯曲问题.ppt

第九章薄板弯曲问题 9－1 有关概念及计算假定 中面：平分板厚度t的平面简称为中面。 薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。 （3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即： 9－2 弹性曲面的微分方程 9－3 薄板横截面上的内力 9－4边界条件 扭矩的等效剪力 9－4 边界条件 扭矩的等效剪力 图 9－4 本节讨论的内容：薄板板边的边界条件 与薄板的上、下板面相比，板边是次要边界条件。因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件代替为内力边界条件，即横向剪力和弯矩的条件。同时，板边的位移边界条件也相应替换成中面的挠度及转角的条件。 下面分类讨论： （1）固定边；（2）简支边；（3）自由边；（4）特殊角点。 9－4 边界条件 扭矩的等效剪力 图 9－4 （1）固定边（OA） 挠度为零，转角为零。 （9－13） 9－4 边界条件 扭矩的等效剪力 图 9－4 （2）简支边（OC） 挠度 等于零，弯矩 也等于零。 （a） 利用（9－10），条件（a）可以用 表示 （b） 化简，得到简支边OC的边界条件 （9－14） 9－4 边界条件 扭矩的等效剪力 （3）自由边（AB） 图 9－4 弯矩： 扭矩： 横向剪力： NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程 * 第九章 薄板的弯曲问题 §9-1 有关概念及计算假定 §9-2 弹性曲面的微分方程 §9-3 薄板截面上的内力 §9-4 边界条件 扭矩的等效剪力 薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。 图9－1 薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。 挠度：薄板弯曲时，中面内各点在垂直于中面方向的位移。 一、基本概念 9－1 有关概念及计算假定 也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。 由几何方程可得 与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。 计算假定： （1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即 图9－1 9－1 有关概念及计算假定 这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。 （2）应力分量 和 远小于其余三个应力分量，因而是次要 的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有： 9－1 有关概念及计算假定 结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。 由于不计 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。 （9－2） 9－1 有关概念及计算假定 所以由几何方程可以得出： 也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在 面上投影的形状却保持不变。 9－2 弹性曲面的微分方程 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度 为基本未知函数。 用 表示其它未知函数： （1）纵向位移： （2）主要应变分量： （3）主要应力分量： （4）次要应力分量： （5）更次要应力分量： 怎么表示？？－－利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。 9－2 弹性曲面的微分方程 （1）用挠度 表示纵向位移 由假定（2）知 代入几何方程（7－8） 移项，积分： 应用假定（3）知， 纵向位移 9－2 弹性曲面的微分方程 （2）用挠度 表示主要应变分量 把 代入几何方程（7－8） （a） 9－2 弹性曲面的微分方程 （3）用挠度 表示主要应力分量 由物理方程（9－2）知 （9－2） 把（a）代入物理方程 （9－4） 9－2 弹性曲面的微分方程 （4）用挠度 表示次要应力分量 利用平衡微分方程（7－1）的前两式（不考虑体力） 把（9－4）代入上式 9－2 弹性曲面的微分方程 将上两式积分 利用应力边界条件确定函数 板上下边界的应力边界条件 表达式为： （9－5） 9－2 弹性曲面的微分方程 （5）用挠度 表示更次要应力分量 利用平衡微分方程（7－1）的第三式（不考虑体力） （c） 将应力分量（9－5）代入（c） 上式对z积分 （e） 9－2 弹性曲面的微分方程 利用板下板面的边界条件确定待定函数 下板面的应力边界条件： 求出