曲线的凹凸与拐点x.ppt

* §3．7 曲线的凹凸与拐点 曲线的凹凸与拐点 曲线的凹凸性 曲线凹凸性的判定定理 曲线的拐点 确定曲线的凹凸性和拐点的步骤 曲线的凹凸性： 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有 曲线的凹凸与拐点 x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) y=f(x) x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) y=f(x) 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)． x1，x2，恒有 曲线的凹凸性： 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有 曲线的凹凸与拐点 如果对I上任意两点 连续曲线y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点． 1 0 1 2 1 1 2 x y y=x3 3 2 1 0 1 2 3 x y y=sinx 曲线的拐点： y x O y=f(x) y x O y=f(x) 观察切线斜率的变化： 曲线凹凸性的判定： 定理 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有一阶和二阶导 数，那么 (1)若在(a，b)内f ??(x)>0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的； (2)若在(a，b)内f ??(x)<0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的． 确定曲线的凹凸性和拐点的步骤： (1)确定函数y?f(x)的定义域； (2)求出在函数二阶导数f`?? (x)； (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； (4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点； 注：根据具体情况（1）（3）步有时省略． 曲线凹凸性的判定： 例1 判断曲线y?ln x 的凹凸性． 解 (1)函数y?ln x 的定义域为(0，??)； (3)因为当0<x<??时，y??<0，所以曲线y?ln x是凸的． 例2 判断曲线y?x 3的凹凸性． 解 (1) 函数y?x 3的定义域为(??，??)； (2) y??3x 2，y???6x ； (3) 由y???0，得x?0； (4) 判断：因为当x<0时，y??<0，所以曲线在(??，0]内为凸 的；因为x>0时，y??>0，所以曲线在[0，??)内为凹的． (??，0) (0，??) 0 f ??(x) f (x) - + 0 ? ? 曲线在(??，0]内为凸的，在[0，??)内为凹的． (4)列表判断： 例1 判断曲线y?ln x 的凹凸性． 解 (1)函数y?ln x 的定义域为(0，??)； (3)因为当0<x<??时，y??<0，所以曲线y?ln x是凸的． 例2 判断曲线y?x 3的凹凸性． 解 (1) 函数y?x 3的定义域为(??，??)； (2) y??3x 2，y???6x ； (3) 由y???0，得x?0； 例3 求曲线y?2x 3?3x 2?2x?14的拐点． 解 (1)函数y?2x 3?3x 2?2x?14的定义域为(??，??)； (4)列表判断： (??，-1/2) (-1/2，??) -1/2 f ??(x) f (x) - + 0 ? ? 41/2 例3 求曲线y?2x 3?3x 2?2x?14的拐点． 解 (1)函数y?2x 3?3x 2?2x?14的定义域为(??，??)； 例4 求曲线y?3x 4?4x 3?1的拐点及凹、凸的区间． 解 (1)函数y?3x 4?4x 3?1的定义域为(??，??)； (4) 列表判断： (??，0) 0 (0，2/3) 2/3 (2/3，??) f ??(x) f(x) + 0 - 0 + ? 1 ? ? 11/27 在区间(??，0]和[2/3，??)上曲线是凹的，在区间 [0，2/3]上曲线是凸的．点(0，1)和(2/3，11/27)是 曲线的拐点．