第6章 函数插值-2详解.ppt

此时 若 则 例: 已知 y = f (x) 的观测数据如下 求分段线性插值和分段二次插值 P1(x) 和 P2(x) . x 0 1 2 3 4 5 6 f (x) -1 -5 3 1 2 4 8 §6. 6 Hermite 插值 分段线性插值简单易操作, 但插值曲线不光滑, 即在内节点处一节导数不连续, 这种情况往往不能满足实际应用的需要. 为了克服这一缺陷, 通常添加一阶导数作为插值条件 . 一、 两个节点的情形： 设 x0 , x1为插值节点， x0< x1，且已知 在区间[x0 , x1]上求多项式 H (x)，使得满足插值条件 由于有4个条件，所以H (x)应为次数不超过3次的多项式，称为 Hermite三次插值。 定理1：设 ，则在区间[x0 , x1]上满足插值条件 的不超过3次的多项式H (x)存在且唯一，并可构造如下： 其中插值基函数 为三次多项式 如果 ，则插值余项为 其中 在 x0 与 x1 之间。 插值基函数的性质: 插值函数的唯一性： 设H (x)和 都是满足插值条件的不超过3次的Hermite插值多项式，则 是不超过3次的多项式，且满足 这说明 x0 和 x1 都是P (x)的二重根，从而P (x)为4次多项式，这是不可能的。 二、 一般情形的Hermite 插值（二重Hermite 插值） 对于函数 , 已知 f (x)在[a , b]上n+1个互异节点处的函数值 及导数值 , 求一个次数不超过 2n+1次的多项式 H2n+1(x) , 使之满足插值条件: 由于插值条件有2n+2个, 所以插值多项式不超过2n+1次. 并 且易知这种插值多项式是存在唯一的. 插值基函数: 借助于Lagrange插值基函数 (1) 设 为次数不超过 2n+1 的多项式, 且满足 (2) 则 称为插值节点 上的插值基函数. 满足插值条件(1)的Hermite插值多项式可写成基函数的线性组合 由条件(2), 显然有 下面求满足条件(2)的基函数 由 由条件(2)知, 在 x = xj 处有 令 , 这里 为待定常数. 解得 类似地, 由 于是 令 , 这里 为待定常数. 由条件(2)知, 在 x = xj 处有 解得 因此Hermite插值多项式为: (2) 类似于Lagrange插值余项的讨论, 有Hermite插值多项式的余项 于是 说明: (1) 类似于两节点情形, 可以得到一般情形Hermite插值多项式的唯一性. (3) 几何意义: 曲线 y =H2n+1(x) 与 y = f (x) 在插值节点处有公共切线. (4) 特例: n=1是, 即为前面介绍的两节点Hermite插值 . 例1: 求不超过3次的多项式 H (x)，使之满足插值条件： 解： (1) 公式法 令 则 Hermite插值多项式的求法1：（一般情形的Hermite插值） (1) 直接利用公式； (2) 待定系数法； (3) 利用插商表。 (2) 待定系数法 令 ，由条件可得： 解得： (3) 插商表 xi f ( xi ) 一阶 二阶 三阶 三、 特殊情形的Hermite 插值 在带导数的插值问题中, 有时插值条件中的函数值个数与导数值个数不相等, 为特殊情形的Her