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上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第五版） 目录 结束 返回 第四章 正态分布 中心极限定理 §4.5 设 为随机变量， 则 的分布,除了若干例外,一般很难求出. 问题：能否利用极限的方法进行近似处理？ 在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布. 在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布 为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理. §4.5 中心极限定理 [定理1]（列维定理） 设独立随机变量 服从相同分布， 并且数学期望和方差都存在： 则当 时， 它们的和的极限分布是正态分布： §4.5 中心极限定理 由列维定理可得如下的近似公式： 设 独立同分布， 则当 充分大时， §4.5 中心极限定理 [推论] [例1] 解： 设随机变量 表示第 个加数的取整误差， 则 在区间 上服从均匀分布， 并且有 §4.5 中心极限定理 计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间 上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率. 于是所求的概率为 §4.5 中心极限定理 [例2] 对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其期望值为2,方差为1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率？ 解： 设 为第 次轰炸命中目标的炸弹数， §4.5 中心极限定理 §4.5 中心极限定理 [定理2] （棣莫弗-拉普拉斯定理） 设在独立试验序列中， 事件 在各次试验中发生的 概率为 随机变量 表示事件 在 次试验 中发生的次数， 则有 其中 是任何实数， §4.5 中心极限定理 证： 设随机变量 表示事件 在第 次试验中发生 的次数 则这些随机变量相互独立， 服从相同的 分布， 并且有数学期望及方差： 显然，事件 在 次试验中发生的次数 所以， 按列维定理可知， 等式成立. §4.5 中心极限定理 由定理可以推知： 设在独立试验序列中， 事件 在各次试验中发生的 概率为 则当 充分 大时， 事件 在 次试验中发生的次数 在 与 之间的概率为 其中 §4.5 中心极限定理 §4.5 中心极限定理 说明： 服从二项分布 的随机 (1) 当 充分大时， 近似地服从正态分布 变量 在第二章中， 泊松分布是二项分布的极限分布， 且有近似计算公式 (2) 现在由定理2知， 正态分布是二项分布的极限分布， 且有相应的近似计算公式. 两者应用场合不同: 很小， 当 很大， 但 不太大时， 用泊松分布 当 固定， 很大时用正态分布逼近. 逼近； [定理3] （林德伯格定理） 设独立随机变量 满足林德伯格 对于任意的正数 有 是 的概率密度， 则当 时， §4.5 中心极限定理 条件： 对任何实数 有 其中 由林德伯格定理可知： 假设被研究的随机变量可以表示为大量随机变量的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的. §4.5 中心极限定理 其中，