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上高斯符號 ceiling 與下高斯符號 floor 模數運算 modular operation 對任意整數a 與 任意正整數n, 數值a mod n 為 a/n　的餘數 : a mod n a -?a/n?n. 若 a mod n b mod n ， 我們可以寫成 a ? b mod n 並且說a 與b 在mod n modulo n 下為等價 equivalent 的。 若我們寫a ? b mod n 則a 與b 在mod n之下並不為等價的。 演算法分析 Analyzing Algorithms 參考: 物件導向資料結構 — 使用Java語言, 江振瑞 著, 松崗圖書公司, 2005. Introduction to the Design and Analysis of Algorithms -- A strategic approach, 2E, R.C.T. Lee et. al., NcGraw Hill, 2005. Introduction to Algorithms, Cormen et. al., MIT Press. 演算法分析 分析一個演算法指的是要對演算法所需要的資源 resources 進行預測。 資源 Resources :記憶體 memory ,通訊 communication ,頻寬 bandwidth ,邏輯閘 logic gate ,時間 time 演算法分析 演算法運行時間 running time 是指在特定輸入下所執行的基本操作或”步驟”的數目。 能方便地進行與機器無關的 machine-independent 分析。 複雜度 Complexity 一般我們使用 時間複雜度 time complexity 空間複雜度 space complexity 來評估演算法的執行時間與所佔用記憶體空間， 這些複雜度愈低，則表示演算法愈好。 我們比較關注time complexity！ 三種狀況 演算法的時間複雜度分析分為以下三種： 最佳狀況 best case 時間複雜度:考慮演算法執行時所需要的最少執行步驟數。 最差狀況 worst case 時間複雜度:考慮演算法執行時所需要的最多執行步驟數。 平均狀況 average case 時間複雜度:考慮所有可能狀況下演算法的平均執行步驟數。 通常，我們只專注在找出最差狀況運行時間 worst-case running time 理由: 是運行時間的上限 upper bound 。 最差狀況也經常發生。 平均狀況常常和最差狀況一樣差。例如:插入排序 insertion sort 以及二次函數 quadratic function 。 最差狀況與平均狀況的分析 一個用以測試質數的演算法 我們可以看出，輸入大於2的任意正整數n，若n是質數，則演算法Prime1需要執行整數除法求餘數 n%i 動作與整數比較 n%i 0 動作n-2次之後，才可以知道n是質數。另外，若n不是質值，則演算法Prime1只要執行整數除法求餘數與整數比較動作1次，就可以知道n不是質數了。 Algorithm Prime1 n :Input:一個大於2的正整數nOutput:true或false 表示n是質數或不是質數 for i←2 to n-1 do if n%i 0 then return falsereturn true 我們可以看出，輸入大於2的任意正整數n，若n是質數，則演算法Prime2需要執行整數除法求餘數 n%i 動作與整數比較 n%i 0 動作 -2次之後，才可以知道n是質數。另外，若n不是質值，則演算法Prime2只要執行整數除法求餘數與整數比較動作1次，就可以知道n不是質數了。 另一個用以測試質數的演算法 分析演算法Prime1 因此，我們很容易看出來，在最壞狀況 worst case 下，演算法Prime1的執行步驟次數與輸入的正整數n成正比關係；而在最佳狀況 best case 下，演算法Prime1的執行步驟次數為與輸入的正整數n無關的某個常數。也就是說，演算法Prime1具有線性的 linear 最差狀況時間複雜度 正比關係即為線性關係 與常數的 constant 最佳狀況時間複雜度。 分析演算法Prime2 我們也很容易看出來，在最壞狀況 worst case 下，演算法Prime2的執行步驟次數相依於輸入的正整數n的平方根值；而在最佳狀況 best case 下，演算法Prime2的執行步驟次數為與輸入的正整數n無關的某個常數。也就是說，演算法Prime2具有平方根的 square root 最差狀況時間複雜度與常數的 constant 最佳