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课题48正弦函数余弦函数的图象和性质4
高中数学教案 第 PAGE 5 页 共5页 第四章 三角函数(第25课时)
课 题:4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)
教学目的:
1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.
教学重点:正、余弦函数的性质
教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0) (,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
余弦函数y
x
o
1
-1
y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
(0,1) (,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
3.定义域:
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(-∞,+∞)],
分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R
4.值域
正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1.
②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.
而余弦函数y=cosx,x∈R
①当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1.
②当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1.
5.周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
6.奇偶性
y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
7.单调性
正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
二、讲解范例:
例1 求函数y=sinπ的单调增区间.
误解:令u=π ∵y=sinu在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上递增
∴2kπ-≤π≤2kπ+ 解得-4k≤x≤-4k+2
???原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z)
分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u=π,忽视了u是x的减函数,未考虑复合后单调性的变化.
正解如下:
解法一:令u=π,则u是x的减函数
又∵y=sinu在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上为减函数,
∴原函数在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上递增
设2kπ+≤π≤2kπ+ 解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z)
∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增
解法二:将原函数变形为y=-sinπ 因此只需求sinπ=y的减区间即可
∵u=π为增函数 ∴只需求sinu的递减区间
∴2kπ+≤π≤2kπ+ 解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)
∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z)
一、利用三角函数的有界性
利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值.
例2 a、b是不相等的正数.
求y=的最大值和最小值.
解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).
y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x
=a+b+
∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1
∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;
当sinx=0时,即x= (k∈Z)时,y有最小值+.
二、利用三角函数的增减性
如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).
例3 在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.
解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有
y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1
=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1=2cos(2x+)-1
∵0≤x≤,≤2x+≤
cos(2x+)在[0,]上是减函数
故当x=0时有最大值
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