2017届高考数学总复习 第六节 利用空间向量求空间角课件 理 新人教A版.ppt

创 新 方 案 系 列 丛 书 新课标高考总复习·数学 2.如图所示，已知正方体ABCD -A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是________． [典题1]　(2015·新课标全国卷) 如图，四边形ABCD为菱形，ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE＝2DF，AEEC. (1)证明：平面AEC平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． (2)如图，，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)， 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为. [解题模板]　利用向量法求异面直线所成角的步骤 [典题3]　(2015·福建高考) 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：GF平面ADE； (2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值． [方法技巧] 1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量． 2．合理建立空间直角坐标系 (1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点． 考纲要求：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)． 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　　) (2)若两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(　　) (3)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为15°.(　　) [听前试做]　(1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由ABC＝120°，可得AG＝GC＝. 由BE平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AEEC，所以EG＝，且EGAC. 在RtEBG中，可得BE＝，故DF＝. [听前试做]　(1)法一： 如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GH＝AB.又F是CD的中点，所以DF＝CD. 由四边形ABCD是矩形，得ABCD，AB＝CD， 所以GHDF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形， 所以GFDH. 又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE. 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________． 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________． 解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则A1(0,0,1)，E，D(0，1,0)， (2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系． [易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角． 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 答案： 　直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选C　建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设BC＝2，则B(0，2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)