初中数学教学资料-《将军饮马问题》的课件.pptVIP

* 最短路径问题（第一课时） 人教版八年级上册13.4课题学习 --将军饮马问题 东城初级中学 柯少孟 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 　　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． A B 他从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？ C为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小． A B C 由线段之和最小，你可以联想到什么呢？ 引入新知 A B C 问题1 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在 l上找到一个点，使得这个点到点A、B的距离的和最短？ 两点之间， 线段最短。 AC+BC最小！ 同侧 连接AB，与直线l相交于点C。 点C即为所求。 探究新知 A B 问题2 如图，点A、B分别是直线l同侧的两个点，如何在 l上找到一个点，使得这个点到点A、B的距离的和最短？ B′ C ☆点B′需要满足条件： 对于直线l 上的任一点C， 都保持CB 与CB′的长度相等。 点B关于l 的对称点B′，满足CB=CB′！ ☆问题转化为： 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB′的和最小？ 线段AB′与直线l 的交点即为所求。 此时，有 AC+CB=AC+CB′. 探究新知 C A B 问题2 如图，点A、B分别是直线l同侧的两个点，如何在 l上找到一个点，使得这个点到点A、B的距离的和最短？ B′ C (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′ ,与直线l相交于点C. 则点C即为所求. 探究新知 问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最小吗？ 　　 如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合）， 连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质可知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， 　即　AC +BC 最小． C′ A B C B′ ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 三角形的两边之和大于第三边！ 两点之间， 线段最短！ 点C′为直线l上任意一点！ 探究新知 “求直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”的问题 将军饮马问题 小结新知 ★运用轴对称以及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。 1、如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 2、如图2，一艘旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． 3、如图3，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B地，请你画出最短路径. 图1 A B C P Q 山 河岸 大桥 图2 图3 运用新知 3 首先我们可以将A、B两地抽象为两个点，将河L抽象为一条直线，把问题中的需要确定的饮马地点设为点C，将军需从A地出发，到河边L上的点C处饮马，然后到B地，他所走的路径就是从A地到饮马地点点C的路径，与从点C到B地的路径之和，将军的问题实质上可转化为一道数学问题：C为直线L上的一个动点，当点C在L的什么位置时，AC与CB的和最小。由线段之和最小，你可以联想到什么呢？ 1 亲爱的同学，欢迎你来到第13.4节的课题学习！现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节我们将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 4 我们来回顾一道题：如图，点A、B分别是直线L异侧的两个点，如何在L上找到一个点，使得这个点到点A、B的距离的和最短？显然，运用“两点之间，线段最短”的原理，在连接A、B两点的线中，线段AB最短，本题只需连接AB，找出AB与直线L的交点，交点即为所求。这里距离的和最短等同于刚才问题中线段AC与CB的和最小，不同的是现在A、B两点分别位于直线的异侧，而刚才问题中的A、B两点位于直线的同侧。 2 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：他从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．聪明的海伦到底是如何解决将军的问题呢？ 5 当点A、B位于直线的同侧