概率论与数理统计C复习提纲.doc.doc

第一部分 基本概念和基本定理 【内容提要】 【】与是否相等？ 答：不一定相等．由对偶律可知，；而． 问题2：事件的相容性与独立性在逻辑上是否存在因果关系？ 答：如下表所示，事件的相容性与独立性在逻辑上不存在因果关系． 特例 结论 和，其中 独立且相容 和，其中 独立但不相容 和，其中 不独立不相容 和，其中 若独立，则相容； 等价地，若不相容，则不独立． 问题3：设，，同时成立，能否推出成立？ 答：不能（例如第2章课件中的伯恩斯坦反例），由此可以看出“两两独立”和“相互独立”并不等价． 问题4：下列式子中的等号何时成立？ 答：第一个等号总成立；当时，第二个等号成立；当独立时，第三个等号成立；当不相容时，第四个等号成立． 问题5：不可能事件与零概率事件是否相等？必然事件与概率为1的事件是否相等？ 答：不可能事件是零概率事件，但反之不然； 必然事件是概率为1的事件，但反之亦不然． 第二部分 随机变量及其分布 【内容提要】 【】 分布函数不连续，存在跳跃间断点． 分布函数一定是连续函数． 分布律 与 密度函数 ，， 从而一定成立． ，， 但不一定成立． 连续型随机变量还具有一个特殊性质：，即任一基本事件发生的概率为零．从而可以推出下列结论： ①不可能事件是零概率的事件，但反之不然；必然事件是概率为1的事件，但反之亦不然． ②． 问题2：连续型随机变量的密度函数是否一定是连续函数？ 答：不一定，均匀分布的密度函数并不连续． 问题3：分布曲线（曲面）是分布函数的图像吗？ 答：不是，分布曲线（曲面）是密度函数的图像． 问题4：密度函数是否由分布函数唯一确定？何时成立？ 答：不是，因为修改密度函数在个别点处的函数值对其积分的值（概率）没有影响． 对的连续点，有． 问题5：联合分布、边缘分布、条件分布之间的联系与区别？ 答：从分布函数的定义来看， 分布函数 几何意义 联合分布 边缘分布 条件分布 对使得的点（这个条件不能少）， 从分布律的定义来看， 分布律 几何意义 联合分布 边缘分布律体现为同一行概率求和． 条件分布律体现为在同一行概率中所占的比重． 注意：条件分布中“”的条件不能少！ 边缘分布 条件分布 当时， 从密度函数的定义来看， 密度函数 几何意义 联合分布 边缘分布 条件分布 对使得的点， 注意：条件分布中“”的条件不能少！ 三种概率分布之间的相互转化关系是 问题6：给定二维随机变量，何时可以由和的边缘分布完全确定联合分布？ 答：当和相互独立时，可以由边缘分布完全确定联合分布． 问题7：已知二维随机变量的边缘分布是正态分布，能否由此确定联合分布是二维正态分布？ 答：不能，反例请参考P.146例19． 第三部分 随机变量的数字特征 【内容提要】 离散型 分布律， 连续型 密度函数 期望 （要求级数绝对收敛） （要求积分绝对收敛） 函数的期望 （要求级数绝对收敛） （要求积分绝对收敛） 方差 期望的性质 方差的性质 切比雪夫不等式 当且仅当，其中 2．协方差和相关系数的定义、性质 协方差 相关系数 对称性 特别地， 对称性 线性性质 ①若和独立，则，但反之不然； ②． ①随机变量不相关的四种等价定义： ；；； ． ②，等号成立当且仅当和之间有严格的线性关系． 【】，则 和独立 和不相关 若，显然和独立，，．进一步，记，于是． 更一般地，若，和独立，记，则，其中，． 问题3：设，根据正态分布的法则可得，而根据切比雪夫不等式可得，如何看待这两个结果？ 答：只要知道随机变量的期望和方差，不必知道分布，利用切比雪夫不等式就可以估计出的下界，若利用的具体分布可以得到更加精确的结果． 第四部分 常见的概率分布 【内容提要】常见概率分布 分布名称 记号 概率分布 性质 二项分布 ， 其中，， ①两点分布是二项分布的特殊情形，其分布列为． ， ③P.63定理2④P.66定理 泊松分布 ， ①P.66定理 ② 超几何分布 ， 其中， （不考） （不考） 几何分布 ， 其中，， ①，（不考） ②无记忆性 负二项分布 ， 其中，， （不考） 2．常见的连续型随机变量 分布名称 记号 概率分布 性质 均匀分布 ， 正态分布 ，其中 ，②标准化 ③3( 法则 指数分布 ， 其中 ，②无记忆性 3．关于抽样问题 假设：N件产品中有M件次品，从中抽取n件（n((M），求从中查出的次品件数的概率分布． 抽取方式 概率分布 放回抽样 二项分布，其中 不放回抽样 超几何分布（P.69例17） 说明：当抽取次数n产品的总量N时，二项分布可