2015数学建模A题小论文.docx

太阳影子定位模型摘要“日长影移”是生活中人人熟知的自然现象，这个词说明地面上的影子变化与太阳活动有着密切的联系。而古代智慧的先民就利用了这个现象制作了日晷是最早且最精确的计时工具之一。本文主要研究的是太阳影子定位问题，需要确定出太阳影长变化模型，通过逆向思维，借助直杆太阳影子变化建立数学优化模型推算出直杆的位置、日期等信息。对于问题一，首先从对直杆长度，基于地理坐标，时间这三个影 响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与三个参数之间的关系式。结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。然后，根据附件 1 中提供的数据，画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。对于问题二，使用最小二乘近似法以及遗传算法建立了一个完整的优化模型，将杆长与直杆地理纬度作为变量参数，进行 100 次迭代，得出 20 组可能的解，通过合理性比较得出最可能地点在海南岛东部对于模型的推广，根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，可以应用到求建筑物群合理间距问题。以保证不同楼层，不同地区住户的采光质量。关键词：正比;峰值;最小二乘法;遗传算法。一、问题的重述问题的背景现代科技的发展使得人们能够更为方便地记录高质量的视频文件。在分析视 频材料时，有时需要确定视频的拍摄地点及日期，而利用天文学知识，对视频物 体中的太阳影子变化进行分析是确定视频拍摄地点及日期的一种方法。要解决的问题根据题中所给信息，本文将问题细化为以下五个问题，并建立数学模型进行 分析和研究。问题一： 以北京 9:00 ?15:00 为时间， 天安门广场（ 北纬3 9? 5 4? 2 ?6， 东经116?23?29?）为地点，建立描述影子长度变化的数学模型，分设若干参数分 析高 3 米的直杆影子长度的变化规律；问题二：为了确定在水平地面上固定直杆的拍摄地点，以直杆的太阳影子顶 点为坐标数据建立数学模型，并将建立的模型应用于附件1，求解出若干可能的拍摄地点；二、问题分析2.1问题一分析题目要求在固定地点，给定日期和杆长的条件下，求解出直杆投影长度的变 化曲线。对于水平地面上的垂直直杆，直杆长度与影子的比值即为太阳高度角的 正切值，因此需要知道此时间段内的太阳高度角变化。查阅资料可得，太阳高度角与当地地方时、经纬度密切相关，因此知道上述两个量就可确定直杆的变化过程。2.2问题二分析问题 2给出某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，要求是建立数学模型，给出若干个可能的地点或地点和日期，这是一种典型的“反问题”，即需要我们由果推因。首先利用已有数据进行二次函数拟合，基本确定直杆的地理经度，然后再采用有关“反问题”比较经典的做法——最小二乘近似法建立模型求解其他变量参数。其中，直杆长度也不确定，由于杆长不同所在的位置也可能不同，所以将杆长设置为变量参数之一。进而用遗传算法的思想求解模型，可以得出直杆几个可能的位置。三、问题假设1.地球是一个完美的球形，不考虑海拔、地球扁率的影响。2.在小尺度考虑直杆投影问题时，地表是绝对水平的。3.题目所给的数据是真实的，可靠的。4.太阳光为平行光，拍摄地点所处位置的高低对影长无影响；5.太阳影子运行过程中不受天气等外界因素影响；6.太阳光为平行光，没有折射；四、符号说明太阳高度角水平地面上直杆长度水平地面上直杆影子长度当地地方时时角当地太阳赤纬当地纬度值当地经度值当地地方时北京时间当地日期序号当地经纬度坐标当地太阳高度角第个时刻观测点的影子长度的估计值五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型的建立本模型结合相关地理学知识，对影子的变化情况进行分析描述。下面将明确一些地理学定义，以及重新定义一些本模型需要用到的参数。太阳高度角，也称太阳高度，是指某地的太阳光线与当地地平面的所交的最小线面角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。在水平地面上，直杆长度与影长的比值即为太阳高度角的的正切值：图1 太阳方位角示意图其中为杆长，为影长。通过查阅相关资料，得知太阳高度角计算公式为：其中为太阳高度角，为地方时时角，为当时的太阳赤纬，为当地度。以一个地方太阳升到最高的地方的时间为正午 12 时，将连续两个正午 12 时之间等分为 24个小时，所成的时间系统，称为地方时。地球上每一个地点都有其相应的地方时。由于题目只提供了当地时间的北京时间，因此在计算地方时角时，要先将北京时间换算为当地地方时：三十多分哪里开始的那份地方其中为北京时间，为当地经度。根据某地地方时，可以换算出当地的地方时时角。地方时时角即当地于子午线之间的角度:平面之间的角度基本不变，因此太阳的赤纬随季节不同而有周期性变化。太阳赤 纬的最高度数为