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高中数学复习资料:空间点线面的位置关系
1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过 的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围: . 4.两个平面的位置关系 5.平行公理 平行于同一条直线的两条直线 . 垂直于同一直线的两直线的位置关系是怎样的? 提示:可能平行,可能相交,也可能异面. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . 1.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等,则l1、l2互相平行; ④若直线l1、l2是异面直线,则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥AB,AD⊥AB,但A1A与AD相交,故①错; 平面A1ABB1⊥平面ABCD, 平面A1ADD1⊥平面ABCD, 而平面A1ABB1与A1ADD1相交, 故②错; 直线A1B和直线BC1与平面ABCD所成角都是45°,但A1B与BC1相交,故③错; 直线A1A与直线BC异面,AB、AC均与A1A、BC相交,但AC与AB相交,故④错. 答案:D 2.若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 ( ) A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 解析:如右图所示, 三个平面α、β、γ两两相交,交线分别是a、b、c且a∥b∥c. 观察图形, 可得α、β、γ把空间分成7部分. 答案:C 3.如下图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ( ) 解析:A中PQ∥RS;B中RS∥PQ; D中RS和PQ相交. 答案:C 4.三个不重合的平面可以把空间分成n部分,则n的可能取值为________. 解析:当三个平面两两平行时,n=4; 当三个平面两个平行,第三个与这两个都相交时,n=6; 当三个平面两两相交于同一直线时,n=6; 当三个平面两两相交,交线平行时,n=7; 当三个平面两两相交,只有一个公共点时,n=8. 答案:4,6,7,8 5.如下图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求A1C1与B1C所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小. 解:(1)如右图,连接AC、AB1, 由ABCD—A1B1C1D1是正方体, 知AA1C1C为平行四边形, 所以AC∥A1C1, 从而B1C与AC所成的 锐角或直角就是A1C1与B1C所成的角. 由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°, 即A1C1与B1C所成角为60°. (2)如右图,连接BD, 由(1)知A1ACC1是平行四边形, ∴AC∥A1C1, ∴AC与EF所成的锐角或直角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线, ∴EF∥BD. 又∵AC⊥BD, ∴EF⊥AC,即所求角为90°. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (2)分析一:证明D点在EF、CH确定的平面内. 分析二:延长FE、DC分别与AB交于M,M′,可证M与M′重合,从而FE与DC相交. ∴B为M′A中点, ∴M与M′重合,即FE与DC交于点M(M′),∴C、D、F、E 四点共面. 变式迁移 1 正方体ABCD-A′B′C′D′中,P、Q、R分别是AB、AD、B′C′的中点,那么,正方体过P、Q、R的截面图形是________.(填几边形) 解析:如下图,作RG∥PQ交C′D′于点G,连结QP并延长与CB的延长线交于点M,连结MR交BB′于点E,连结PE、RE为截面的部分外形. 同理连结PQ并延长交CD的延长线于点N,连结NG交DD′于点F,连结QF、FG. ∴截面为六边形PQFGRE. 答案:六边形 【例2】 (2009·辽宁高考)如右图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点. (Ⅰ)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长; (Ⅱ)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线. (Ⅱ)假设直线ME与BN共
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