2-3.连续型随机变量的概率密度函数.ppt

§2.3 连续型随机变量的概率密度 一、连续型随机变量的概念与性质 概率密度 f(x) 具有以下性质： 说明： 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它 在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是 它在某一区间上取值的问题． 例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 例2 某电子元件的寿命 X（小时）是以 例3 设随机变量X的密度函数为 例 3（续） 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 二、一些常用的连续型随机变量 显然， 均匀分布的概率背景 例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率． 例 6 2.指 数 分 布 定义 若随机变量X的密度函数为 例 7 3.正 态 分 布 特别是,当μ=0,σ2=1时称正态分布为标准正态分 密度函数的验证 由正态分布密度函数的图形知： （2）分布函数 (3) 标准正态分布与正态分布的关系 例8 设随机变量 X~N(0,1) ,试求: (1) P{1≤X2}; 例9 设随机变量X~N(2,9) 试求:(1) P{1≤X5}; 规则（3 标准差规则） 4*. Γ -分布. Γ- 函 数 作业： P57,20,16,21(12),23,25,26,29 连续型随机变量 X~N(2,9) 0 连续型随机变量 连续型随机变量 连续型随机变量 连续型随机变量 * * 连续型随机变量的概念与性质 一些常用的连续型随机变量 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在 非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的 概率密度函数,简称概率密度. 连续型随机变量 记为 ：X~ f(x) ，其图象称为密度曲线。 说明： 连续型随机变量的分布函数为连续函数。 f (x) 0 x 1 f (x) x 0 前两个条件是概率密度的 充分必要条件 X落在 (x1,x2]上概率是概 率密度在(x1,x2]上的定积分值。 连续型随机变量 事实上， 既有 5.设X是连续型随机变量, 则对任意的实数a, 有 连续型随机变量 注意:连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机 变量分布律的性质非常相似，但是密度函数不是概 率！ 此公式非常重要！ 若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任 意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限 区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为 连续型随机变量 解 ⑴ 由密度函数的性质, 有 连续型随机变量 为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件在使用的 前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 解 设 A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换} 设Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，则 故所求概率为 检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 连续型随机变量 连续型随机变量 连续型随机变量 求1) A值. 解 2）X的分布函数. 3）P{1.5X2.5} 连续型随机变量 1) 由密度函数的性质, 有 2) X的分布函数 或 3) 1. 均 匀 分 布 定义 若随机变量X的密度函数为 记作 X ~ U [a , b] a b x F (x) 0 1 X的分布函数为： 连续型随机变量 则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布. 分布函数随机变量 X X a b l l x 0 连续型随机变量 如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,与该区间的位置无关. 此时可认为随机变量X在区间[a,b]上取值是等可能的. 解： 令：B={候车时间不超过5分钟 },则 连续型随机变量 乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量 设该乘客于7时X 分到达此站, X 服从区间[0,30]上的均匀分布． 解 随机变量Y的密度函数为： 连续型随机变量 记为： 其分布函数为 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。 连续型随机变量 令：B={ 等待时间为10~20分钟 },则 连续型随机变量 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X的密度函数为 X(分钟)是服从参数为 λ=1/10的指数分布 0 x f (x) (1) 概