浙江大学经济学院博士生博弈论课程习题及答案.doc

纳什均衡 1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡 表1.1 S1 S2 L M R U 4,3 5,1 6,2 M 2,1 8,4 3,6 D 3,0 9,6 2,8 首先，找出S2的劣战略。对于S2，M策略严格劣于R策略，所以M为严格劣策略。删除后M再找出S1的劣战略，显然对于S1而言，M策略和D策略严格劣于U策略，所以M和D为严格劣策略。删除M与D后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。 2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡 表1.2 S1 S2和S3 X3 Y3 X2 Y2 X2 Y2 X1 0,0,0 6,5,4 4,6,5 0,0,0 Y1 5,4,6 0,0,0 0,0,0 0,0,0 首先看S1选择X策略。如果S2同样选择X策略，那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。 其次看S1选择Y策略。如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果S2选择Y策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。 所以该博弈式的纯战略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。 3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=｛A，B，C｝。得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。参与人的支付函数如下： U1(A)=U2(B)=U3(C)=2 U1(B)=U2(C)=U3(A)=1 U1(C)=U2(A)=U3(B)=0 求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。 首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。 1 2和3 A3 B3 C3 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 1,2,0 2,0,1 2,0,1 2,0,1 0,1,2 B2 2,0,1 1,2,0 2,0,1 1,2,0 1,2,0 1,2,0 2,0,1 1,2,0 0,1,2 C1 2,0,1 2,0,1 0,1,2 2,0,1 1,2,0 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2 由上，若参与人1选择A策略。如果参与人2同样选择A策略，那么参与人3选择ABC策略是无差异的，但均衡策略只能是参与人3选择A策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3选择AB策略是差异的，但均衡策略只能是其选择A，因此（A，B，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；同样，如果参与3选择C策略，参与人2也将选择C策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。 若参与人1选择B策略。如果参与人2选择A策略，那么参与人3将选择A或C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人2的最优策略是选择B，当其选择A策略时，参与人2将选择B策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3将选择ABC是无差异的，但其选择A和C都不满足纳什均衡，因此当其选择A和C时，参与人1将选择A或C，因此有当参与人3选择B策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人2选择C策略，参与人3也将选择C策略；但参与人3选择C策略时，参与人2将选择B策略，因此，这时不存在纳什均衡。 若参与人1选择C策略。如果参与人2选择A或B策略，那么参与人3将选择C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人1的最优策略是选择B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C 策略；因为这时的AB策略都不满足纳什均衡，因此，存在一个纳什均衡（C，C，C）。 所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有5个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B，B，B）（C，C，C）。 4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡 表1.3 S1 S2 L M R T 7，2 2，7 3，6 B 2，7 7，2 4，5 首先考虑纯纳什均衡。如果S1选择T战略→S2将选择M战略→S1选择B战略→S2将选择L战略→S1选择T战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什均衡。因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M、R中的任意