第11章常微分方程数值解法.ppt

第11章 常微分方程初值问题的数值解法 引言 §1 几种简单的数值解法 §2 R-K 方法 §3 线性多步法 引言 在常微分方程中，我们已经掌握了一些典型方程的解法。但许多形式的方程只能用数值方法求近似解，也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。现在以求一阶常微分方程初值问题 设f(x，y)在带形区域 R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝ 上为 x，y 的连续函数，且对 y 满足李普希茨(Lipschitz)条件 ｜f(x，y1)-f(x，y2)｜≤L｜y1-y2｜ 其中 (x，y1)、(x，y2)∈R，L为正常数。在求初值问题(11.1)的数值解时，通常采用离散化方法(数值微分、数值积分、泰勒展式等)，求在自变量 x 的离散点 a=x0＜x1＜x2＜…＜xN=b 上的准确解 y(x) 的近似值 y0，y1，y2，…，yN 。 常取离散点 x0，x1，x2，…，xN 为等距，即 xn=xn-1+h，n=1，2，…，N h 称为步长。图11.1表示为初值问题(11.1)在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。 §1 几种简单的数值解法 （一）欧拉(Euler)方法 （1）欧拉方法的计算公式和几何意义 计算公式： 例1 用欧拉法求初值问题 §2 R-K 方法 R-K 方法是 Runge-Kutta 方法的简称。 R-K 方法是高阶的一步法。一个方法的总体截断误差若为 O(hr) ，则称它为 r 阶方法。总体截断误差与局部截断误差有关系： 我们还是假设 yi=y(xi)，利用泰勒级数展开求 y(xi+1)，若取前有限项作为 y(xi+1) 的近似值，就可得到计算 y(xi+1) 的各种不同截断误差的数值公式。 例 如，取前两项可得到 y(xi+1)≈y(xi)+hy′(xi) =y(xi)+hf(xi，y(xi)) =yi+hf(xi，yi) 若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式 这里 y′(xi)=f(xi，y(xi)) y″(xi)=f′x(xi，y(xi))+f′y(xi，y(xi))y′(xi) =f′x(xi，y(xi))+f(xi，y(xi))f′y(xi，y(xi)) 类似地，若取前k项作为y(xi+1)的近似值，便得到截断误差为O(hk)的数值计算公式。这些公式的计算必须依赖于求y(xi)的k阶导数，除非f(x，y)足够简单，否则直接用泰勒展开法求解较为复杂。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。 §3 线性多步法 一步法在计算时只用到前面一步的近似值，这是一步法的优点。但要提高精度时需要增加中间函数值的计算，这就加大了计算量。 向后欧拉方法的绝对稳定区域： 把向后欧拉方法用到 上，有 误差方程 （11.13） 只要 Re(lh)<0 就有 因此向后欧拉方法是 A-稳定的。但由于迭代要求0<hL<1 ，因此当 L 较大时，h 仍要受到限制。 （三）梯形公式 把 中的积分用梯形求积公式计算，并令 y(xn+1)=yn+1, y(xn)=yn , 则得梯形公式 梯形公式也是隐式格式，计算 yn+1 时要用迭代法。先用欧拉方法的计算结果作为初值，再用（11.14）做迭代，迭代格式为 （11.14） 因为 因此，当 0<hL/2<1 时迭代收敛。 梯形公式的总体截断误差是 O(h2) ，比欧拉方法高一阶。梯形公式是 A-稳定的。这是因为它的误差方程为 所以 只要 Re(lh)<0 就有 改