第1章节1.4章节.pptVIP

1.4 极限的运算 1.4.1 极限的四则运算法则 定理1.5 如果 则 （1）和差的极限等于极限之和差 ： ； （2）积的极限等于极限之积 ： ； 特别, （为常数）, （3）商的极限等于极限之商： （ ）。 例1.4.1 解： 求极限 。 法则即可求得 【分析】 当 时 ， ，只需用商的极限的运算 【注】当遇到有理函数在某点 处有定义的极限时，则此极限就等于该 函数 在 处的函数值，即 。 例1.4.2 解： 求极限 。 【分析】 当 时 ， 。不能直接用商 ， 的极限法则。但可考虑倒数的极限，再利用无穷小量与无穷大量的关系求解。 因为 ，所以 = 。 【注】当遇到分母的极限为零，分子的极限不为零的分式函数极限时， 可利用倒数的极限与无穷大、小量的关系来确定原式的极限。 例1.4.3 解： 求极限 。 ，可以先通过因式分解消 【分析】 当 时 ， 去为零的因子，再求极限。 分子、分母的极限都为零，不能直接应用极限的运算 法则。 但我们发现它们都有趋向于零的公因式 因式分解，约去趋向于零的公因式，然后再求极限。 【注】当遇到分子分母极限均为零的有理分式函数极限时，先对分子分母 例1.4.4 解： 求极限 。 【分析】 当 时 ， 可先对分子有理化，再求极限。 分子分母极限均为零，不能直接用极限运算法则。 【注】当遇到分母分子极限均为零的非有理分式函数极限时，若分子或分母 中含有根式，可先对根式有理化，约去零因子，再求极限。 例1.4.5 解： 求极限 。 【分析】 因为分子分母的极限都不存在，所以不能直接用极限的运算法则。 但用 同除分子及分母，可利用四则运算法则求极限。 = 【注】当遇到分母分子均为无穷大量的有理分式函数极限时，先将分子、 分母同除以它们的最高次幂，后再求极限。一般地， 当 时，有下面的 结论： （其中 ） 例1.4.6 解： 求极限 。 【分析】 不存在，所以不能直接用差的极限法则， 因为 ， 我们可先通分化简，再求极限。 【注】当遇到两个有理分式差的极限时，若这两个有理分式都是无穷大量， 可先将它们通分，后再求极限。 例1.4.7 解： 。 设 ，求 【分析】 的分段点，所以必须用左右极限来求。 因为 是函数 所以 【注】当遇到分段函数在分段点的极限时，须先求左右极限来求极限。 【课堂练习一 】 1．求下列极限。 （2） （1） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）设 ，求 1.4.2 两个重要极限 1.重要极限一 考察 当 时， 的变化趋势。 所以有 0.99833 0.84147 0.95885 0.99958 0.99998 0.99999 解1： 例1.4.8 解2： 求极限 令 ，则 当 时， 。 所以 解： 例1.4.9 求极限 以后，我们可以直接利用结论： 解： 例1.4.10 求极限 解： 例1.4.11 求极限 解： 例1.4.12 求极限 。于是 设 ，则 ； 当 时， 2.重要极限二 考察 当 时， 的变化趋势。 所以有 解： 例1.4.13 求极限 解： 例1.4.14 求极限 以后，我们可以直接利用结论： 令 ， 当 时， 。于是 解： 例1.4.15 求极限 解： 例1.4.16 求极限 【课堂练习二 】 1．求下列极限。 （1） （2） （3） （5） （6） （4） 3.连续复利 年末（一年 期）的本利和为 间隔无限缩短，即 ，假设计息 时，于是得到连续复利计算公式 【 1.4 小结 】 求极限的方法 多项式与分式函数代入法求极限 消去零因子法求极限 无穷小分出法求极限 利用无穷小运算性质求极限 利用重要极限求极限 利用左右极限求分段函数极限 习题1 14，15 【 作业 】