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第6章 模态逻辑 本章内容 1 模态逻辑介绍 2 模态命题逻辑形式系统 3 NSK元理论 4 其他正规系统 5 模态词的归约 1．模态逻辑（Modal Logic）介绍 逻辑的一个分支，研究必然、可能及其相关概念的逻辑性质。 模态词：表示事物的“势态”、人的“情态”、过程的“变迁”的词，如“必然、可能”、“应该、允许”、“知道、认可”、“一贯、偶然”等。 逻辑学中，有狭义模态和广义模态之分。 狭义模态：涉及必然性和偶然性的模态。从某种观点来看，它们表达的是命题的真假强度，因此，也称为真值模态。例如： “物体间存在着引力是必然的” “火星上可能有人” 模态逻辑介绍（续） 广义模态：涉及命题本身所具有的非真值函项的种种性质的模态。 广义模态词： 必然、可能——真理论模态逻辑 应该、允许、禁止——道义论模态逻辑 知道、相信、可接受、可疑、可证——认识论模态逻辑 曾经、总是、将是——时序逻辑 一贯、偶然、经验的、有先例的——经验论模态逻辑 优先、中立等——价值论模态逻辑 比如： “子女赡养父母是应该的” “宇宙间存在着黑洞是可信的” 模态逻辑引入 逻辑系统的发展 命题逻辑 一阶谓词逻辑，扩充命题逻辑系统的描述能力。 模态逻辑，扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。 命题逻辑的不足：原子命题不能细化，不能完全描述现实世界中的问题。 模态逻辑引入（续1） 命题逻辑和一阶谓词逻辑的不足： 都不能描述有时间、地点概念的变化。 …… 有些命题是否成立与其所在的时间和场合有关系。例如： A：“太阳系有八颗行星。” B：“汽车是一个必备的生活工具。” C：“1＋1＝2” 用模态逻辑来描述这样的时间与场合上的概念。 对于在某些场合成立的命题，规定为“可能真”的。 对于在所有场合都为真的命题，规定为“必然真”的。 模态逻辑引入（续2） 模态命题：陈述事物情况的必然性或可能性的命题。反映人们对客观事物认识的程度。 模态逻辑中，对必然和可能的描述： 可能A：◇A，命题A至少在一个可以实现的场合中成立。 必然A：□A，命题A在所有能够实现的场合中成立。 模态逻辑的实质 命题逻辑和一阶谓词逻辑的扩充 引入了两个模态词(必然/□ 、可能/◇) 场合之间的“可达”关系 场合从目前所处的场合是否可以实现（到达）。 模态词□：表示在当前场合可以达到的场合中都是成立的 模态词◇：表示在当前场合可以达到的场合中，至少有一个是成立的 场合与现实之间的关系 程序模块、时间段、地理位置等 在模态逻辑中，称这些不同的场合为可能世界。 基本模态概念 真命题，区分为必然真的命题和并非必然真的命题 假命题，区分为必然假的命题和并非必然假的命题 必然命题：必然真的命题，也称为必真命题。不可能是假的命题。 不可能命题：必然假的命题。 可能命题：并非不可能的命题。 可能命题包括所有的真命题（必然命题和并非必然的命题），即除不可能命题以外的所有命题。 偶然命题：既非必然又非不可能的命题。 基本模态概念（续1） 真命题：“在实际世界中为真”的命题。 例如：“尼克松在1969年成为总统。” 必然命题：“在所有可能世界中都为真”的命题。 例如： “所有单身汉都是未婚的。” 不可能命题：“不在可能世界中为真”的命题，也称为“必然假命题”。 例如：张三 和 李四 同时比对方高。 可能命题：“至少在一个可能世界中为真”的命题。 例如：“明天不下雨” 、“这个地区有石油” 偶然命题：“在一些可能世界中为真，在另外一些可能世界中为假”的命题。 比如：“尼克松在1969年成为总统。” 偶然为真 “休伯特·汉弗莱在1969年成为总统。” 偶然为假 基本模态概念（续2） “模态”概念： “必然性”、 “不可能性”、 “偶然性”、“可能性” 指的是逻辑上的必然性、不可能性、偶然性、可能性。 可以根据它们中的任何一个概念来解释其余三个概念。 “必然”的含义：无论事物是怎样的、也无论世界是怎样的，这个命题都不可能不真。 如命题：所有单身汉都是未婚的。 再如命题：没有物体的运动速度比光速更快。 “命题P是必然真的” 等价于 “P是假的是不可能的”。 “P是可能真的” 等价于 “P是假的不是必然为真的”。 基本模态概念（续3） 由命题A可以形成命题：A是必然的，表述为：必然A。 当A是必然命题时，“必然A”为真；否则为假。 “必然”：一元命题形成算子，不是真值函项算子。 A假，可确定命题“必然A”是假的。 A真，可否确定“必然A”的真假？ 不能。A真分为两种情况：A必然真和并非必然真。对于前者：“必然A”真，对于后者：“必然A”假。 “可能”：一元命题形成算子，不是真值函项算子。 A真，可确定命题“可能A”是真的。 A假，可否确定“可能A”的真假？