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勾股定理的综合使用
一、勾股定理
1. 定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为、,斜边为,那么
2. 勾股定理的证明:
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;
②根据同一种图形的面积的不同表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
常见方法如下:
定理
证明 ,
,化简可证。 ,大正方形面积为
,所以。 ,
,化简得证。 二、定理适用范围及应用
1. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考查的对象是直角三角形。
2. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边;
在中,,则,,;
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系;
③可运用勾股定理解决一些实际问题。
总结
(1)掌握好定理的内容及基本证明;
(2)求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。
已知直角三角形斜边上的中线长为1,周长为2+,则这个三角形的面积为( )A. B. 1 C. 2 D.
解析:由中线长可得斜边长,根据周长已知,可列出另外两边的方程,再根据勾股定理列出另一个方程,联立解得两直角边长,再利用面积公式进行计算。
答案:解:设两直角边长分别为x、y;
∵直角三角形斜边上的中线长为1,故斜边长为2。
周长为2+=x+y+2,得x+y=。①
由勾股定理得 =2。②
①②联立解得xy=1,故这个三角形的面积为xy=。故选A。
2 在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+2S2+2S3+S4=( )
A. 5 B. 4 C. 6 D. 10
解析:先根据正方形的性质得到∠ABD=90°,AB=DB,再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE,则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE,于是有AC=BE,然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2,代换后有ED2+AC2=BD2,根据正方形的面积公式得到S1=AC2,S2=DE2,BD2=1,所以S1+S2=1,利用同样方法可得到S2+S3=2,S3+S4=3,通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。
答案:解:如图
∵图中的四边形为正方形,
∴∠ABD=90°,AB=DB,∴∠ABC+∠DBE=90°,
∵∠ABC+∠CAB=90°,∴∠CAB=∠DBE,
∵在△ABC和△BDE中,
∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD,
∴△ABC≌△BDE(AAS),∴AC=BE,
∵DE2+BE2=BD2,∴ED2+AC2=BD2,∵S1=AC2,S2=DE2,BD2=1,∴S1+S2=1,
同理可得S2+S3=2,S3+S4=3,∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。故选C。
在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段CD的长为 。
解析:分①点A、D在BC的两侧,设AD与边BC相交于点E,根据等腰直角三角形的性质求出AD,再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD,然后求出CE,在Rt△CDE中,利用勾股定理列式计算即可得解;②点A、D在BC的同侧,根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB,过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E,判定△BDE是等腰直角三角形,然后求出DE=BE=2,再求出CE,然后在Rt△CDE中,利用勾股定理列式计算即可得解。
答案:解:①如图1,点A、D在BC的两侧,∵△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=,
∵∠ABC=45°,∴BE=DE=AD=×4=2,BE⊥AD,
∵BC=1,∴CE=BE-BC=2-1=1,
在Rt△CDE中,CD==;
②如图2,点A、D在BC的同侧,
∵△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=2,
过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E,则△BDE是等腰直角三角形,
∴DE=BE=2,
∵BC=1,∴CE=BE+BC=2+1=3,
在Rt△CDE中,
CD==,
综上所述,线段CD的长为或。
图形变换的证明
如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2+DB2=DE2
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