成考专升本高等数学(二)重点及解析.docVIP

PAGE 1 高等数学（二）重点知识及解析 Ⅰ、函数、极限 一、基本初等函数(又称简单函数)： （1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数：(〉0, （4）对数函数：(〉0, （5）三角函数：，，， （6）反三角函数：，，， 二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。 例如：是由，这两个个简单函数复合而成. 例如：是由，和这三个简单函数复合而成. 该部分是后面求导的关键！ 三、极限的计算 1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即。 注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即。 （2）该方法的使用前提是当的时候，而时则不能用此方法。 例1：，，，， 例2： 例3： （非特殊角的三角函数值不用计算出来） 2、未定式极限的运算法 （1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。 例1：计算. ………未定式，提取公因式 解：原式= 例2：计算. ………未定式，提取公因式 解：原式=== （2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。 例1：计算 ………未定式，分子分母同时除以n 解：原式 ………无穷大倒数是无穷小 例2：计算. ………未定式，分子分母同除以 解：原式== ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 3、利用等价无穷小的代换求极限 （1）定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果=1，称与是等价无穷小，记作～. （2）定理：设、、、均为无穷小，又～，～，且存在 则= 或 （3）常用的等价无穷小代换：当时， ～, ～ 例1：当时，～2，～ 例2：极限=== ………用2等价代换 例3：极限== ………用等价代换 Ⅱ、一元函数的微分学 一、导数的表示符号 （1）函数在点处的导数记作： ， 或 （2）函数在区间（a,b）内的导数记作： ， 或 二、求导公式（必须熟记） （1） （C为常数） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例：1、= 2、 3、= 4、 5、 6、 三、导数的四则运算 运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.） （1） （2） 特别地（为常数） （3） 例1：已知函数，求. 解：=== 例2：已知函数，求和. 解：=== 所以= （注意：lne=1,ln1=0） 例3：已知函数，求. 解：=== 四、复合函数的求导 1、方 法 一： 例如求复合函数的导数. （1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. 如由和这两个简单函数复合而成 （2）用导数公式求出每个简单函数的导数. 即=，=2 （3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去. ∴=2=2 2、方 法 二（直接求导法）： 复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导. 例1：设函数，求. 解：==·=·= 例2：设函数，求. 解：==·= 注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。 五、高阶导数 1、二阶导数记作：， 或 我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数. 2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 例1：已知，求. 解：∵=，∴= 例2：已知，求. 解：∵==，∴=2=4 即= 六、微分的求法： （1）求出函数的导数. （2）再乘以即可.即. 例1：已知，求. 解：∵==== ∴= 例2：设函数，求. 解：∵== ∴= Ⅲ、二元函数的微分学 一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作。 例如：二元函数通常记作：， 二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数，则函数在区域D内对和对的偏导数记为：