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01 讲 函数的性质
一、基本性质:
1. 函数图像的对称性
(1) 奇函数与偶函数:奇函数图像关于坐标原点对称,对于任意x D ,都有f (−x ) =−f (x ) 成立;
偶函数的图像关于 轴对称,对于任意x D ,都有f (−x ) f (x ) 成立。
y
(2) 原函数与其反函数:原函数与其反函数的图像关于直线y x 对称。 若某一函数与其反函数表
示同一函数时,那么此函数的图像就关于直线y x 对称。
(3) 若函数满足 f (x ) f (2a =−x ) ,则 f (x ) 的图像就关于直线 x a 对称;若函数满足
f (x ) =−f (2a −x ) ,则f (x ) 的图像就关于点(a,0) 对称。
(4) 互对称知识:函数y f (x =−a )与y f (a =−x ) 的图像关于直线x a 对称。
2.函数的单调性
函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导
数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性)
a
特别提示:函数y x =+ (a 0) 的图像和单调区间。
x
3.函数的周期性
对于函数 ,若存在一个非零常数 ,使得当 为定义域中的每一个值时,都有
y f (x ) T x
成立,则称 是周期函数, 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中
f (x +T ) f (x ) y f (x ) T
存在一个最小的正数,就称其为最小正周期。
(1) 若 是 的周期,那么nT (n Z ) 也是它的周期。
T y f (x )
T
(2) 若 是周期为 的函数,则y f (ax =+b ) (a 0) 是周期为 的周期函数。
y f (x ) T
a
(3) 若函数y f (x ) 的图像关于直线x a 和x b 对称,则y f (x ) 是周期为2(a −b) 的函数。
(4) 若函数 满足f (x +a ) =−f (x ) (a 0) ,则 是周期为 的函数。
y f (x ) y f (x ) 2a
4.高斯函数
对于任意实数 ,我们记不超过 的最大整数为 ,通常称函数 为取整函数。又称高斯
x x [x ] y [x ]
函数。又记 ,则函数 称为小数部分函数,它表示的是 的小数部分。
{x } x =−[x ] y {x } x
高斯函数的常用性质:
(1) 对任意x R,均有x −1 [x ] x [x ] +1 (2) 对任意x R ,函数y {x }的值域为[0,1)
(3) 高斯函数是一个不减函数,即对于任意x , x R,若x x ,则[x ]
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