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2020年九年级中考数学压轴题专项训练:二次函数的综合卷(含答案)
1.如图,顶点为P(2,﹣4)的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,点A(m,n)在该函数图象上,连接AP、OP.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)若∠APO=90°,求点A的坐标;
(3)若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C,点A关于y轴的对称点为D,设抛物线与x轴的另一交点为B,请解答下列问题:
①当m≠4时,试判断四边形OBCD的形状并说明理由;
②当n<0时,若四边形OBCD的面积为12,求点A的坐标.
解:(1)∵图象经过原点,
∴c=0,
∵顶点为P(2,﹣4)
∴抛物线与x轴另一个交点(4,0),
将(2,﹣4)和(4,0)代入y=ax2+bx,
∴a=1,b=﹣4,
∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x;
(2)∵∠APO=90°,
∴AP⊥PO,
∵A(m,m2﹣4m),
∴m﹣2=,
∴m=,
∴A(,﹣);
(3)①由已知可得C(4﹣m,n),D(﹣m,n),B(4,0),
∴CD∥OB,
∵CD=4,OB=4,
∴四边形OBCD是平行四边形;
②∵四边形OBCD是平行四边形,n<0,
∴12=4×(﹣n),
∴n=﹣3,
∴A(1,﹣3)或A(3,3).
2.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+kx+c的图象经过点C(0,1),当x=2时,函数有最小值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线l⊥y轴,垂足坐标为(0,﹣1),抛物线的对称轴与直线l交于点A.在x轴上有一点B,且AB=,试在直线l上求异于点A的一点Q,使点Q在△ABC的外接圆上;
(3)点P(a,b)为抛物线上一动点,点M为坐标系中一定点,若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长,求定点M的坐标.
解:(1)∵图象经过点C(0,1),
∴c=1,
∵对称轴x=2,
∴k=﹣1,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+1;
(2)由题意可知A(2,﹣1),设B(t,0),
∵AB=,
∴(t﹣2)2+1=2,
∴t=1或t=3,
∴B(1,0)或B(3,0),
∵B(1,0)时,A、B、C三点共线,舍去,
∴B(3,0),
∴AC=2,BC=,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为直角三角形,BC为外接圆的直径,外接圆的圆心为BC的中点(,),半径为,
设Q(x,﹣1),则有(x﹣)2+(+1)2=()2,
∴x=1或x=2(舍去),
∴Q(1,﹣1);
(3)设顶点M(m,n),∵P(a,b)为抛物线上一动点,
∴b=a2﹣a+1,
∵P到直线l的距离等于PM,
∴(m﹣a)2+(n﹣b)2=(b+1)2,
∴+(2n﹣2m+2)a+(m2+n2﹣2n﹣3)=0,
∵a为任意值上述等式均成立,
∴,
∴,
此时m2+n2﹣2n﹣3=0,
∴定点M(2,1).
3.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知BC=2,tan∠OBC=.
(1)求拋物线的解析式;
(2)如图2,若点P是直线BC上方的抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,作PE⊥BC于点E,当点P的横坐标为2时,求△PDE的面积;
(3)若点M为抛物线上的一个动点,以点M为圆心,为半径作⊙M,当⊙M在运动过程中与直线BC相切时,求点M的坐标(请直接写出答案).
解:(1)∵BC=2,tan∠OBC=,
∴OB=4,OC=2,
∴点B为(4,0),点C为(0,2)代入y=﹣x2+bx+c中,
∴c=2,b=,
∴y=﹣x2+x+2;
(2)当x=2时,y=3,
∴P(2,3),
∵B(4,0),C(0,2),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,
∵PD平行于y轴,
∴D(2,1),
∴PD=2,
∵PD平行于y轴,
∴∠PDE=∠OCB,
∵PE⊥BC,
∴∠PED=∠COB=90°,
∴△PDE∽△BCO,
∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方,
∵△BCO的面积为4,
∴△PED的面积是4×=;
(3)过点M作MG⊥BC于点G,过点M作MH∥AB于点H,
∴△MGH∽△COB,
∴=,
∵⊙M与直线BC相切,
∴MG=,
∴MH=5,
设点M(x,﹣x2+x+2),
如图1,设H(x+5,﹣x2+x+2)代入y=﹣x+2,
∴x=﹣1或x=5,
∴M(﹣1,0)或M(5,﹣3);
如图2,点H(x﹣5, x2+x+2)代入y=﹣x+2,
∴方程无解,
综上所述:M(﹣1,0)或M(5,﹣3).
4.如图,抛物线y=ax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且OC=2OB,点D为线段OB上一动点(不与点B重合),过点D作矩形DEFH,点H、F在抛物线上,点E在x轴上.
(1)求抛物线的
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