专题15 三角函数的图象与性质（知识精讲）（解析版）.docx

专题十五 三角函数的图象与性质 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 三角函数的图象与性质 三角函数的图象 五个关键点 正弦、余弦、正切型函数的最值、单调区间 三角函数的图象与性质 三角函数值比较大小 三角函数单调性 二.学法指导 1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3．用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表： x 0 eq \f(π,2) π、 eq \f(3π,2) 2π sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1) y b (或A＋b) A＋b (或b) b (或－A＋b) －A＋b (或b) b (或A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象． 4.用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法 (1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集． 5..求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|). (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 6.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 7、与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)； (2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)； (3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)； (4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 8.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b或形如y＝Atan(ωx＋φ)+b(其中A≠0，ω0，b为常数)的函数的单调区间，注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A0，ω0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦或正切)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0，ω0时同样方法可以求得与正弦(余弦或正切)函数单调性相反的单调区间． 9、三角函数值大小比较的策略 ?1?利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))或\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内. ?2?不同名的函数化为同名的函数. ?3?自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 10、三角函数最值问题的常见类型及求解方法： ?1?y＝asin2x＋bsin x＋c?a≠0?，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定. ?2?y＝Asin?ωx＋φ?＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin?ωx＋φ?的范围，最后得最值. 求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x. 三.知识点贯通 知识点1 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． 2.余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． 例1.(1)下列叙述正确的是(　　) ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0