导数在函数中的应用（相对简单版）.docVIP

导数在函数中的应用 一、知识梳理 1、单调区间 一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数； 2、极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值 一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。 ①求函数在内的极值； ②求函数在区间端点的值、； ③将函数的各极值与、比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 典型例题 题型一：函数不含参求解函数单调性、极值与最值 例1、已知函数在处取得极值为. （1）求、的值； （2）若有极大值，求在上的最大值. 【答案】(1) ;(2) 最小值为. 【解析】试题分析：（1），有，得；（2）在处取得极大值，在处取得极小值，最小值为. 试题解析： （1）因故由于在点处取得极值 故有即，化简得解得 (2).知， 令，得， 当时， 故在上为增函数； 当时， 故在上为减函数； 当时， ，故在上为增函数。 由此可知在处取得极大值。 在处取得极小值 由题设条件知得 此时， ， 因此上的最小值为. 变式训练：已知函数. （1）求函数的单调递减区间. （2）函数在区间上的最大值是20，求它在该区间上的最小值. 【答案】（1）， 为减区间， 为增区间;（2）-7 【解析】试题分析：（1）利用导数求得函数的单调递减区间。（2）由（1）可得函数， 为减区间， 为增区间。所以最大值只可能是f(2),f(-2),比较两个值的大小，可得f(2)=20.求得参数，进一步求的函数在区间上的最小值。 试题解析：（1） ， 为减区间， 为增区间 （2） ∴ ∴=-2 ∴函数的最小值为 【点睛】 利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 题型二：函数含参分类讨论研究函数单调性、极值与最值 例2、已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 【答案】(1) (2) 若， 在上递增；若， 在上递增； ， 在上递减． 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性。 解析： （1）当 时， ， ， ， 曲线在处的切线方程为： ； （2） 若， ， 在上递增； 若，当时， ， 单调递增； 当时， ， 单调递减． 点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图像法，通过图像得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性。 变式训练：已知函数，a为常数 （1）判断在定义域内的单调性 （2）若在上的最小值为，求a的值 【答案】(1) f（x）的单调增区间为,单调减区间为, (2) a＝－ 【解析】试题分析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝.，由此利用导数性质能求出f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a的值． 试题解析： (1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝. 当a0时， (x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． 当a<0时，?令 (x)>0 ，得x>-a；?令 (x)<0 ，得x<-a, 所以f（x）的单调增区间为,单调减区间为 (2)由(1)可知，f′(x)＝. ①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－?(舍去)．? ②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝?a＝－?(舍去)．?? ③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在[1，－a]上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在[－a，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.? 综上所述，a＝－. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参