导数在函数中的应用（相对简单学生版）.docVIP

PAGE PAGE 1 导数在函数中的应用 一、知识梳理 1、单调区间 一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数； 2、极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值 一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。 ①求函数在内的极值； ②求函数在区间端点的值、； ③将函数的各极值与、比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 典型例题 题型一：函数不含参求解函数单调性、极值与最值 例1、已知函数在处取得极值为. （1）求、的值； （2）若有极大值，求在上的最大值. 变式训练：已知函数. （1）求函数的单调递减区间. （2）函数在区间上的最大值是20，求它在该区间上的最小值. 题型二：函数含参分类讨论研究函数单调性、极值与最值 例2、已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 变式训练：已知函数，a为常数 （1）判断在定义域内的单调性 （2）若在上的最小值为，求a的值 例3、已知函数， . （1）当时，求函数的单调区间. （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围. 变式训练：已知函数. （1）若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围； （2）若，令，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 题型三：不等式恒成立问题 例4、已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）若b=1时，恒成立，求实数a的取值范围． 变式训练：已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）证明当时，关于的不等式恒成立； 课后作业 1．函数在区间上的最小值为(　　) A. 72 B. 36 C. 12 D. 0 2．函数是减函数的区间为 ( ) A. （0，2） B. C. D. 3．若函数在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A. 1<a<2 B. 1<a<4 C. 2<a<4 D. a>4或a<1 4．已知函数在与时都取得极值， （1）求， 的值； （2）若对， ， 恒成立，求的取值范围。 5．已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间. 6．已知函数． （1） 试讨论函数的单调性； （2）若在区间中有两个零点，求范围． 7．已知函数． （1）求的最小值； （2）求证：x＞0时， ． 8．已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.