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(分类)专题复习(九)函数与几何图形综合探究题(压轴)
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(分类)专题复习(九)函数与几何图形综合探究题(压轴)
类型1 探究线段问题
类型2 探究角度问题
类型3 探究面积问题
类型4 探究几何图形性质问题
类型5 探究特殊三角形的存在性问题
类型6 探究特殊四边形的存在性问题
类型7 探究全等、相似三角形的存在性问题
类型8 反比例函数与几何图形的综合
类型9 其他问题
类型1 探究线段问题
(2019柳州)
(2019绵阳)在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,△ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求△ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求PE+PA的最小值.
解:(1)将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣2,
∵OA=1,
∴点A的坐标为(﹣1,0),代入抛物线的解析式得,4a﹣2=0,
∴,
∴抛物线的解析式为y=,即y=.
令y=0,解得x1=﹣1,x2=3,
∴B(3,0),
∴AB=OA+OB=4,
∵△ABD的面积为5,
∴=5,
∴yD=,代入抛物线解析式得,,
解得x1=﹣2,x2=4,
∴D(4,),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
∴,解得:,
∴直线AD的解析式为y=.
(2)过点E作EM∥y轴交AD于M,如图,设E(a,),则M(a,),
∴=,
∴S△ACE=S△AME﹣S△CME===,
=,
∴当a=时,△ACE的面积有最大值,最大值是,此时E点坐标为().
(3)作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点F作FH⊥AE于点H,交轴于点P,
∵E(),OA=1,
∴AG=1+=,EG=,
∴,
∵∠AGE=∠AHP=90°
∴sin,
∴,
∵E、F关于x轴对称,
∴PE=PF,
∴PE+AP=FP+HP=FH,此时FH最小,
∵EF=,∠AEG=∠HEF,
∴=,
∴.
∴PE+PA的最小值是3.
(2019张家界)已知抛物线(≠0)过点A(1,0), B(3,0)两点,与y轴交于点C, OC=3.
(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2) 过点A作AM⊥BC,垂足为M, 求证:四边形ADBM为正方形;
(3) 点P力抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求P点坐标及最大面积的值;
(4) 若点Q为线段OC上的一动点,问AQ+QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值,若不存在,请说明理由.
(2019河南)
(2019贺州)
(2019黄石)如图,已知抛物线经过点(-1,0)、(5,0).(1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标;
(2)若点在抛物线上,且点的横坐标为8,求四边形的面积
(3)定点在轴上,若将抛物线的图象向左平移2各单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点在新的抛物线上运动,求定点与动点之间距离的最小值(用含的代数式表示)
(2019东营)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? 4经过点 A(2,0)、 B(-4,0),与 y 轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图 1,点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形 ABPC 的面积最大时, 求点 P 的坐标;
(3)如图 2,线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E,垂足为 D,M 为抛物线的顶点,在直线 DE 上是否存在一点 G,使△CMG 的周长最小?若存在,求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2019乐山)如图,已知抛物线与轴相交于、两点,与轴交于点,且tan.设抛物线的顶点为,对称轴交轴于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)为抛物线的对称轴上一点,为轴上一点,且.
①当点在线段(含端点)上运动时,求的变化范围;
②当取最大值时,求点到线段的距离;
③当取最大值时,将线段向上平移个单位长度,使得线段与抛物线有两个交点,求的取值范围.
图 备用图
图
备用图
解:(1)根据题意得: ,,
在中,,且,得,
,将点坐标代入得:,
故抛物线解析式为:;
(2)①由(1)知,抛物线的对称轴为:,顶点,
设点坐标为(其中),
则,,,
,在中,由勾股定理得:,
即,整理得:
(),
当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,
所以,;
②由①知
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