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第一章 集合和映射 1.1 集合和集合的运算 在日常生活中，在逻辑、数学以及其它科学的研究中，我们经常遇到一类对象，这类对象是某些东西的总体。例如人类这个概念的外延就是所有具体的人的总体，动物这个概念的外延就是所有具体的动物的总体，又如自然数、整数、实数都是具有某种性质的数的总体，三角形、正方形、多边形都是某种几何图形的总体。把这类对象最一般的性质抽象出来就是集合。 集合，简单地说就是一堆东西的总体，其中每个东西称为这个集合的元素。这样的集合概念是素朴的和直观的，我们可以通过对具体集合的认识和对集合性质的讨论来加深对它理解。 以后一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z表示集合，用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。常用的特殊集合用专门的记号，如用英文大写黑体字母N, Z, Q和R分别表示自然数、整数、有理数和实数。 1.1.1 定义 属于 a是A的元素称为a属于A，记为a?A，a不是A的元素称为a不属于A，记为a?A。?称为属于关系 为了简便起见，将a?A且b?A简记为a, b?A。更一般地，将a1?A,…, an?A简记为a1,…, an? 每个集合都有确定的元素，但刻画集合的确定性并不一定需要知道它们的元素。集合的确定性表现在： 任何一个东西是或者不是这个集合的元素，但不能既是又不是这个集合的元素。 这样，对于属于与不属于来说就有：?x(x?A??(x?A)) 从集合的确定性要求看，日常生活中使用的某些概念不能简单地看作集合的，如青年、新鲜的苹果等。如果需要将这样的概念作为集合来使用，必须给它们划出明确的界限。 1.1.2 定义 集合的相等 A和B有同样的元素称为A和B相等，记为A = B。即A ? B =df ?x(x?A?x?B A ? B也可以表示为：?x((x?A?x?B)?(x?B?x?A)) ?(A ? B)记为A ? B，条件是：?x((x?A?x?B)?(x?B?x?A)) 设?是一个性质，所有具有性质?的元素可以组成一个集合，这个集合记为：{x | ?(x)}。 如果A = {x | ?(x)}，则?x(x?A??(x))。 1.1.3 定义 空集 没有任何元素的集合称为空集，记为?。取一种任何元素都没有的性质?，就可以将?表示为{x | ?(x ? = {x | ?(x)}就有?x(x????(x))，由?(x)恒假得?x(x??)。 A ? ?，称A是非空集合。A是非空集合的条件是?x(x?A)。 1.1.4 定义 子集 如果B的元素都是A的元素，则称B是A的子集，也称B包含于A，记为B ? A。? B ? A表示为：?x(x?B?x?A)，也表示为：?x(x?A ?x?B)。 B不是A的子集记为B ?/ A，条件是：?x(x?B?x?A)。 如果B ? A且B ? A，则称B是的A的真子集。 和属于关系类似，为了简便起见，将B1 ? A,…, Bn ? A简记为B1,…, Bn 子集有以下基本性质。 1.1.5 定理 A, B (1) ? ? A，A ? A。 (2) 如果B ? A且A ? B，则A ? B。 (3) 如果C ? B且B ? A，则C ? A。■ 定理1.1.5的(2)可用来简化集合相等的证明，要证明A ? B，只需证明B ? A且A ? 定理1.1.5的(3)称为包含关系的传递性。由于传递性，以后将C ? B且B ? A简记为C ? B ? 一个集合有许多子集，所有这些子集可以组成一个集合。 1.1.6 定义 幂集 A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为P(A)，即P(A) = {X | X ? A}。所以：?X(X? P(A)?X ? 因为? ? A且A ? A，所以?, A? P(A)。这说明了幂集不会是空集。特别地，空集?的幂集P(?) = {?}不是空集，它有一个元素?。 两个集合的公共元素能够组成集合，如女大学生就是女人和大学生这两个集合的公共元素所组成的集合。两个集合的所有元素能够组成集合，如动植物就是动物和植物这两个集合的所有元素组成的集合，一般地引进以下概念。 1.1.6 定义 集合的交 集合A和B的公共元素组成的集合称为集合A和B的交，记为A?B。即A?B = {x | x?A且x?B}。所以有：?x(x?A?B?(x?A?x? x不属于A?B记为x?A?B，条件是：?x(x?A?B?(x?A?x?B)) 如果A?B = ?，则称A和B不交。A?B = ?可表示为：?x(x?A?x?B)，也可表示为：?x(x?A?x?B)（或?x(x?B?x?A)）。 1.1.7 定义 集合的并 集合A和B的所有元素组成的集合称为集合A和B的并，记为A?B。即A?B = {x | x?A或x?B}。所